Gambar3.16: Berkas Kurva Misalkan l 1 dan l 2 adalah dua buah garis yang berpotongan, maka dengan memberikan semua nilai k yang mungkin dalam persamaan l 1 + kl 2 = 0 diperoleh semua garis yang mungkin melalui perpotongan daris l 1 dan l 2 kecuali garis l 2 sendiri. Hal ini memberikan suatu motoda atau cara menemukan persamaan garis yang melalui perpotongan dua titik yang diberikan dan
1. Definisi Isometri Dalam Geometri Transformasi dikenal beberapa transformasi diantaranya Pergeseran, Rotasi, dan Pencerminan. Pada tiga transformasi ini, ukuran dan bentuk bangun yang telah mengalami transformasi tidak berubah. Hal ini menghasilkan istilah baru bahwa ketiga transformasi itu disebut transformasi yang isometri, suatu istilah yang berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”sama luas”. Definisi Misalkan T suatu transformasi , transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclides V berlaku dimana dan . Untuk memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut Misalkan garis pada bidang dan transformasi ditetapkan sebagai berikut i. Jika maka ii. Jika maka Apakah transformasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian Ambil dua titik sembarang dan anggota misalkan dan , sehingga diperoleh a. g sumbu dari , misalkan , maka b. g sumbu dari , misalkan , maka Perhatikan gambar berikut ini Kemudian pandang dengan . Karena , siku-siku, dan , maka =. Akibatnya a. b. Sekarang pandang dengan . Karena, , dan , maka =. Akibatnya Karena dan di ambil sembarang titik pada dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik dan pada ,diperoleh sehingga transformasi yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri. Contoh lain Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun suatu bidang datar dan pemetaan didefinisikan untuk suatu titik oleh . Maka dapat ditunjukan bahwa suatu transformasi menunjukan suatu isometri, ambil sepasang titik dan bayangan masing-masing dan kemudian buktinya bahwa Dengan rumus jarak diperoleh Karena itu, adalah isometri. 2. Sifat-sifat Isometri Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat seperti yang tertuang dalam teorema berikut. Teorema 1 Setiap Isometri bersifat a. memetakan garis menjadi garis b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis c. mengawetkan kesejajaran dua garis Bukti a. memetakan garis menjadi garis Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa adalah suatu garis juga. Ambil dan . Maka, , melalui dan ada satu garis misalnya . Akan kita buktikan , untuk itu akan dibuktikan dan . i. Bukti Ambil . Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan artinya, . Oleh karena suatu isometri, jadi T suatu transformasi maka ada sehingga dan oleh karena suatu isometri maka begitu pula . Jadi pula . Ini berarti bahwa segaris pada dan . Sehingga sebab bukti serupa berlaku untuk posisi dengan atau . ii. Bukti Ambil lagi . Maka ada sehingga dengan misalnya ., artinya dan . Oleh karena sebuah isometri maka , , . Sehingga . Ini berarti bahwa segaris, yaitu melalui dan . Oleh karena satu-satunya garis yang melalui dan maka . Jadi haruslah . Bukti serupa berlaku untuk keadaan atau Sehingga . Jadi jika sebuah garis maka adalah sebuah garis. b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah . Andaikan , , . Menurut sifat a, maka dan adalah garis lurus. Oleh karena maka sedangkan , , . Sehingga . Jadi . Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut. c. mengawetkan kesejajaran dua garis Kita harus memperlihatkan bahwa // . Andaikan memotong di sebuah titik , jadi dan . Oleh karena sebuah transformasi maka ada sehingga dengan dan . Ini berarti bahwa memotong di , jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa //.Maka pengandaian bahwa memotong salah. Jadi haruslah // . Sehingga suatu isometri mengawetkan kesejajaran dua garis. Akibat Salah satu akibat dari sifat b teorema 1 ialah bahwa jika dua buah garis misalkan a dan b dimana maka dengan sebuah isometri. Bukti Dipunyai akan ditunjukkan . Andaikan Ta tidak tegak lurus dengan Tb maka terapat sudut antara Ta dengan Tb yang tidak sama dengan 90o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o. Hal ini kontradiksi dengan . Jadi pengandaian harus dibatalkan. Artinya . Jadi apabila maka dengan T sebuah isometri. Teorema 2 Komposisi dua buah isometri adalah isometri Bukti Ambil dua isometri, namakan dengan dan , terjadilah komposisi dari dan . Yaitu dan . Dalam uraian ini akan ditunjukkan salah satu saja . Ambil dua titik sembarang , misalkan , dan , , berdasarkan pemisalan ini dapat dicari Karena isometri maka dan karena isometri pula . Karena dan , maka . Jadi suatu isometri. Soal Latihan 1. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. adalah sebuah isometri dengan dan . Jika lukislah ! 2. Diketahui garis dan . Tulislah sebuah persamaan garis ! 3. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga dan . Apabila buktikan ! 4. Diketahui garis-garis g,h, dan h’ sehingga apakah ungkapan di bawah ini benar? a. Jika maka . b. Jika maka . c. Jika , maka . 5. Jika dan , selidikilah apakah terletak pada garis . Pembahasan 1. , . Karena maka dan T isometri, maka atau . Gambar 2. Diketahui garis dan Gambar Karena sebuah refleksi pada , maka merupakan isometri. Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan , maka adalah sebuah garis. Titik merupakan titik potong antara garis dan sumbu . Titik merupakan titik potong antara garis dan . Jadi dan . Karena maka Jadi akan melalui titik , dan akan melalui § Koordinat titik g x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0, h x = -1 substitusikan x = -1 ke persamaan garis g x + 2y = 1, diperoleh -1 + 2y – 1 = 0 2y = 2 y = 1 Jadi § Koordinat titik Titik adalah titik potong dengan sumbu . Karena isometri maka Jadi, Misal titik Absis titik adalah Diperoleh dan Jadi, Jadi, g’ melalui titik C-1,1 dan Persamaan garis g’ Jadi, 3. Diketahui Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh tidak sejajar dengan . Padahal diketahui bahwa , maka pengandaian harus dibatalkan, artinya . 4. Diketahui garis-garis , , dan sehingga a. Jika maka . Jadi benar jika maka . b. Jika maka . Jadi benar jika maka . c. Jika , maka . Jadi benar jika , maka . 5. Jika g = {x,y y = -x} dan h = {x,y 3y = x + 3} Gambar Karena sebuah refleksi pada maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan , maka adalah sebuah garis. Titik merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, dan . Karena maka Jadi h’ akan melalui titik Ambil titik A0,1 dan B-3,0 karena maka dan . Jadi melalui dan . Dimana pencerminan pada garis berlaku misalkan maka bayangannya . Sehingga dan . Persamaan garis h’ Jadi persamaan garis Isometri Langsung Dan Isometri Lawan Untuk lebih memahami isometri langsung dan isometri lawan terlebih dahulu kita bahas fenomena isometri yang diperlihatkan pada gambar berikut . Pada gambar 1 tampak bahwa apabila pada segitiga ABC yang dicerminkan pada garis g dimana, urutan kelilingnya A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam menghasilkan peta yaitu segitiga yang urutan kelilingnya →→ adalah sesuai dengan jarum jam. Pada gambar 2 dapat dilihat lihat sebagai isometri yaitu suatu rotasi putaran segitiga ABC yang mengelilingi titik O. Dimana, pada segitiga ABC urutan keliling adalah A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam dirotasikan mengelilingi titik O yang menghasilkan peta yaitu segitiga dengan urutan keliling →→ adalah tetap berlawanan dengan putaran jarum jam. Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita gunakan konsep tiga titik yang tak segaris. Andaikan P1,P2,P3 tiga titik yang tak segaris maka melalui P1,P2 dan P3 ada tepat satu lingkaran l, kita dapat mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai di P2 , P3 dan akhirnya kembali ke P1. Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik P1,P2,P3 memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam orientasi yang negatif, apabila arah keliling itu berlawanan dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik P1,P2,P3 memiliki orientasi yang berlawanan denga putaran jarum jam orientasi yang positif, jadi pada gambar 1, A,B,C memiliki orientasi positif sedangkan A1,B1,C1memiliki orientasi yang negatif, pada gambar 2 orientasi A,B,C adalah positif dan orientasi A2,B2,C2 tetap positif, jadi pencerminan pada gambar 1 mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 2 mengawetkan orientasi. Definisi 1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris ,, orientasinya sama dengan ,, dengan = T , = T , = T. 2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris ,, orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya ,, dengan , , . Definisi Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi. Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi adalah Teorema 3 Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan. Teorema 4 tanpa bukti, tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2, dimana isometri yaitu rotasi pada titik O adalah sebuah isometri langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu Teorema 4 Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan. Soal Latihan 1. Pada gambar berikut, terdapat tiga titik tak segaris yaitu , , , dan adalah isometri-isometri dengan , , sedangkan , , . Termasuk golongan manakah dan itu ? 2. Isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri lawan tentukan titik ! 3. Sebuah isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri langsung tentukan . 4. Diketahui garis-garis dan dan titik-titik dan . Diketahui pula bahwa , , , dan . a. Lukislah dan ! b. Bandingkan jarak dan . Pembahasan 1. Gambar Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa merupakan isometri lawan karena mengubah orientasi , , dan . merupakan isometri langsung karena mengawetkan orientasi , , dan . 2. Karena sebuah isometri lawan maka mengubah orientasi , , dan sehingga dipetakan sesuai dengan gambar berikut 3. Karena sebuah isometri lawan maka mengubah orientasi , , dan sehingga dipetakan sesuai dengan gambar berikut 4. a. Gambar b. Karena isometri mengawetkan jarak Maka jarak dengan = jarak dengan Jarak dengan = jarak dengan Jadi jarak = jarak Karena jarak = jarak dan jarak = jarak , maka jarak = jarak .
Persamaangaris b seperti tampak pada gambar adala Pertanyaan Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah . 2y = x - 1 2y = - x -1 2y = x + 1 2y = - x + 1 KP K. Putri Master Teacher Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Ganesha Jawaban terverifikasi Pembahasan Mau dijawab kurang dari 3 menit? Coba roboguru plus! 1rb+ 5.0 (2 rating)
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi. Semua gambar grafik yang terdapat pada pos ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah GeoGebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 164 KB. Today Quote Siapkan masa kini. Tidak perlu menyesali apa yang telah terjadi di masa lalu dan mengkhawatirkan apa yang belum terjadi di masa depan. Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Elips Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Hiperbola Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Lingkaran yang berpusat di titik $p$ menyinggung sumbu $Y$ seperti yang terlihat pada gambar berikut. Persamaan lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x-10^2+y+6^2=10$ B. $x-10^2+y+6^2=36$ C. $x+10^2+y-6^2=36$ D. $x-10^2+y+6^2=100$ E. $x+10^2+y-6^2=100$ Pembahasan Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $10, -6$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$. Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $x-a^2+y-b^2 = r^2$. Untuk $a, b = 10, -6$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{x-10^2+y+6^2 = 100}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $Ph, k$ dan $r$ berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+8x-2y-8=0.$ Nilai dari $r+k-h = \cdots \cdot$ A. $10$ C. $15$ E. $19$ B. $12$ D. $17$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum kanonik, yakni $$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ x+4^2- 16 + y-1^2-1-8 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2-25 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2 &=25 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $x_p, y_p$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2.$ Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $-4, 1$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5.$ Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$ sehingga $\boxed{r + k-h = 5 + 1-4 = 10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Lingkaran $$L \equiv x+1^2+y-3^2=9$$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 2$ dan $x =-4$ B. $x = 2$ dan $x =-2$ C. $x =-2$ dan $x = 4$ D. $x =-2$ dan $x =-4$ E. $x = 8$ dan $x =-10$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x+1^2+y-3^2 &=9 \\ x+1^2+\color{red}{3}-3^2 & = 9 \\ x+1^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $2,3$ dan $-4, 3.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $2,3$ adalah $\begin{aligned} x+12+1 + y-33-3 & = 9 \\ 3x+1 & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $-4,3$ adalah $$\begin{aligned} x+1-4+1 + y-33-3 & = 9 \\-3x+1 & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4,$ seperti yang tampak pada gambar grafik berikut. Jawaban A [collapse] Baca Juga Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika Soal Nomor 4 Lingkaran $$L \equiv x-3^2+y-2^2=4$$ memotong garis $y = 2$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x =-1$ dan $x =-5$ B. $x =-1$ dan $x = 5$ C. $x = 1$ dan $x =-5$ D. $x = 1$ dan $x = 5$ E. $x = 4$ dan $x = 6$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x-3^2+y-2^2 &=4 \\ x-3^2+\color{red}{2}-2^2 & = 4 \\ x-3^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $1,2$ dan $5,2$. Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $$x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p = r^2.$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $1,2$ adalah $\begin{aligned} x-31-3 + y-22-2 & = 4 \\-2x-3 & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $5,2$ adalah $\begin{aligned} x-35-3 + y-22-2 & =4 \\ 2x-3 & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5,$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Soal Nomor 5 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+12x-6y+13=0$ di titik $-2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y+1=0$ B. $x+2y+4=0$ C. $2x-y+3=0$ D. $-2x-y-5=0$ E. $3x-2y+4=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}12x-2+\dfrac{1}{2}-6y-1 + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y+1 = 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 6 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y-12=0$ B. $x-y-4=0$ C. $x-y-3=0$ D. $x+y-3=0$ E. $x+y+3=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C = 11$, $x_1 = 2,$ dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}-6x+2+\dfrac{1}{2}4y-1 + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y-3= 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $7,1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y-41=0$ B. $4x+3y-55=0$ C. $4x-5y-53=0$ D. $4x+3y-31=0$ E. $4x-3y-40=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C =-12,$ $x_1 = 7$, dan $y_1 = 1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}-6x+7+\dfrac{1}{2}4y+1-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x^2+3y^2-6x-15y+16=0$ B. $2x^2+2y^2-4x-8y+9=0$ C. $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$ D. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$ E. $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ Pembahasan Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $x_p, y_p = 1,2.$ Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti, $$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan $\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}$ yaitu $\begin{aligned} r & = \dfrac{-11 + 12 + 0}{\sqrt{-1^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$ Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $$\begin{aligned} x-x_p^2+y-y_p^2 & = r^2 \\ x-1^2+y-2^2 & = \left\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right^2 \\ x^2-2x+1+y^2-4y+4 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$ A. $x+2y+2=0$ B. $x+2y+6=0$ C. $x+2y-2=0$ D. $x+2y=0$ E. $x+2y-8=0$ Pembahasan Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$ Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$ Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ x^2- 8x + y^2 + 6y-20 & = 0 \\ x- 4^2-16 + y+3^2-9-20 & = 0 \\ x-4^2 + y+3^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $4,-3.$ Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran. Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 4,-3$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 &= mx-x_1 \\ y-3 & =-\dfrac{1}{2}x- 4 \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$ Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Titik $a, b$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ D. $12$ B. $6$ E. tidak bisa dipastikan C. $8$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $0,0$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25.$ Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya. Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya. Untuk itu, pasangan $x, y \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah $\begin{aligned} & \{0, 5, 0,-5, 5, 0, -5, 0, 3, 4, \\ & 3,-4, -3, 4, -3,-4, 4, 3, \\ & 4,-3, -4, 3, -4,-3\} \end{aligned}$ Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2$ $-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x-y=14$ B. $2x-y=10$ C. $2x-y=5$ D. $2x-y=-5$ E. $2x-y=-6$ Pembahasan Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. $$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ x-1^2-1 + y + 3^2-9-10 & = 0 \\ x-1^2 + y+3^2 & = 20 \end{aligned}$$Lingkaran tersebut berpusat di $1,-3$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5.$ Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2.$ Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2.$ Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $1,-3$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} y-y_p & = mx-x_p \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-3 & = 2x-1 \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$ Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu $\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ dan $x^2+y^2+10x-8y+25=0$. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah $\cdots \cdot$ A. berpotongan di satu titik B. tidak berpotongan C. bersinggungan luar D. bersinggungan dalam E. sepusat Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+6x + y^2-8y + 21 & = 0 \\ x+3^2-9 + y-4^2-16 + 21 & = 0 \\ x+3^2 + y-4^2 = 4 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-3, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2.$ Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+10x + y^2-8y + 25 & = 0 \\ x+5^2-25 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 & = 16 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-5, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-5 = 2.$ Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2.$ Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam. Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A-2,1$ dan $B4,-3$. Jika $Px,y$ terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga $PA^2 + PB^2 = AB^2$, maka $P$ merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu $X$ pada $\cdots \cdot$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x = 2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$ $x = 2\sqrt{13}-1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x =-2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ Pembahasan Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$. Diketahui $Px, y, A-2,1, B4,-3.$ Dengan menggunakan rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} \left\sqrt{x+2^2+y-1^2}\right^2 + & \left\sqrt{x-4^2+y+3^2}\right^2 \\ & = \left\sqrt{-2-4^2+1+3^2}\right^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya. $\begin{aligned} & x^2+4x+4+ y^2-2y+1+ \\ & x^2-8x+16+ y^2+6y+9 = 52 \end{aligned}$ Sederhanakan bentuk aljabarnya. $\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$ Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat. Lingkaran ini memotong sumbu $X$ saat $y = 0$, sehingga $\begin{aligned} x^2+0^2-2x+20-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$ Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas. $\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{-2^2-41-11}} {21} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$ Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu $X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2 = 36$ dari titik $9,-6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y=12$ B. $3x-2y=12$ C. $3x+2y=-18$ D. $3x-y=12$ E. $2x-3y=18$ Pembahasan Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $x_1,y_1$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$. Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $9,-6$ adalah $\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 15 Lingkaran yang berpusat di $2,3$ dan menyinggung garis $y-7=0$, juga menyinggung garis dengan persamaan $\cdots \cdot$ A. $x+6 = 0$ dan $y + 4 = 0$ B. $x-6 = 0$ dan $y + 1 = 0$ C. $x+2 = 0$ dan $y-6 = 0$ D. $x-2 = 0$ dan $y-6 = 0$ E. $x-2 = 0$ dan $y + 1 = 0$ Pembahasan Perhatikan sketsa berikut. Jika titik pusat lingkaran di $2, 3$, maka jarak titik ini ke titik singgung $2, 7$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 4^2 = 16.$ Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah $\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7 = 0 \end{aligned}$ Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B. [collapse] Soal Nomor 16 Jika kuasa titik $Mm, 4$ sama dengan nol terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$, maka nilai $m = \cdots \cdot$ A. $\sqrt{3}$ D. $\pm 2$ B. $3$ E. $\pm 3$ C. $2$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $x_1, y_1$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25.$ Agar nilai tersebut nol, kita tuliskan $\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 17 Misalkan titik $A$ dan $B$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2-6x-2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,1$. Jika luas segi empat yang melalui titik $A,B,C$, dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $0$ D. $2$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. $$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ x- 3^2- 9 + y-1^2-1+k&=0 \\ x-3^2 + y-1^2 & =10- k \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $P3,1$ dan $r = \sqrt{10-k}.$ Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P3,1$ ke titik $C8,1$ membentuk garis horizontal mendatar. Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal sehingga segi empat $PABC$ berupa layang-layang. Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya. Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A.$ Diketahui $\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$ Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. $\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-10-k} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$ Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh $\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ 10-k k+15 & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ k+6k-1 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1.$ Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C. [collapse] Soal Nomor 18 Lingkaran $x^2 + y^2 -16x-12y = 0$ memotong sumbu $Y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik $P$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y = 4x + 36$ B. $3y =-4x + 36$ C. $3y = 4x + 12$ D. $4y = 3x + 12$ E. $4y =-3x + 12$ Pembahasan Karena lingkaran memotong sumbu $Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-160-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ yy+12 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $0,0$ atau $0,12$. Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0$, $x_1 = y_1 = 0.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,0$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 0y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+0 + 0 & = 0 \\ -8x-6y & = 0 \\ 4x + 3y & = 0 \end{aligned}$$ Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0,$ $x_1 = 0, y_1 = 12.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,12$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 12y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+12 + 0 & = 0 \\ 12y-8x-6y-72 & = 0 \\ 6y & = 8x + 72 \\ 3y & = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A. Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya. [collapse] Soal Nomor 19 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2+5x-5y+25=0$ B. $x^2+y^2-5x+5y+25=0$ C. $x^2+y^2+10x-10y+25=0$ D. $x^2+y^2-10x+10y+25=0$ E. $x^2+y^2+5x+5y+10=0$ Pembahasan Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut. Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $-r, r.$ Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0,$ maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh $\begin{aligned} 2-r+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$ Pusat lingkaran di $-5, 5$. Persamaan lingkarannya adalah $$\begin{aligned} x-a^2+y-b^2&=r^2 \\ x+5^2+y-5^2 & = 5^2 \\ x^2+10x+25+y^2-10y+\cancel{25} & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ menyinggung garis $ax+by=2a$. Nilai dari $\dfrac{a^2}{a^2+b^2}$ $= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ berpusat di $x_1, y_1 = -1, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$. Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} r & = 3 \\ \left\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{a-1+b0+-2a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 21 Titik pusat lingkaran $L$ berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis $y = 2x$. Jika $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, persamaan lingkaran $L$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2-3x-6y=0$ B. $x^2+y^2+6x-12y-108=0$ C. $x^2+y^2+12x+6y-72=0$ D. $x^2+y^2-12x-6y=0$ E. $x^2+y^2-6x-12y+36=0$ Pembahasan Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu $6 = 2x \Leftrightarrow x = 3.$ Jadi, pusat lingkaran $L$ di $3,6.$ Panjang jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $3,26$ ke $0,6$, yaitu $r = 3.$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $\begin{aligned} x-3^2 + y-6^2 &= 3^2 \\ x^2-6x + 9 + y^2-12y + 36 & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 22 Diketahui lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 -2x-4y-10 = 0$. Garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya dan melalui titik $a, b$ memiliki persamaan $\cdots \cdot$ $b+2x+1+ay+2a-b = 0$ $b-2x+1+ay+2a+b = 0$ $b+2x+1-ay+2a-b = 0$ $b+2x+1-ay+2a+b = 0$ $b-2x+1-ay+2a-b = 0$ Pembahasan Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran. Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan $$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ x-1^2-1+y-2^2-4-10 & = 0 \\ x-1^2+y-2^2 & = 15 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat di $1, 2.$ Persamaan garis yang melalui $1, 2$ dan $a, b$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ y-2a-1 & = b-2x-1 \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ b-2x+1-ay+2a-b & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{b-2x+1-ay+2a-b = 0}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 23 Salah satu persamaan garis singgung dari titik $0, 4$ pada lingkaran $x^2+y^2 = 4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \sqrt3x + 2$ B. $y = \sqrt3x + 4$ C. $y = 3x + 4$ D. $y = \sqrt5x + 4$ E. $y = 5x + 4$ Pembahasan Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran itu sehingga diperoleh $$0^2 + 4^2 = 16 > 4.$$Ini artinya titik $0, 4$ berada di luar lingkaran. Misalkan persamaan garis singgung yang dimaksud berbentuk $y = mx + c.$ Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada persamaan garis sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 4 & = m0 + c \\ c & = 4. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $y = mx + 4.$ Berikutnya, substitusikan pada persamaan lingkaran. $$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 4 \\ x^2 + mx + 4^2 & = 4 \\ x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 & = 4 \\ \underbrace{1+m^2}_{a}x^2 + \underbrace{8m}_{b}x + \underbrace{12}_{c} & = 0. \end{aligned}$$Karena garis menyinggung lingkaran, maka persamaan kuadrat di atas harus berdiskriminan $0.$ $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-41+m^212 & = 0 \\ 64m^2-48-48m^2 & = 0 \\ 16m^2 & = 48 \\ m^2 & = 3 \\ m & = \pm \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $y = \sqrt3x + 4$ atau $y = -\sqrt3x + 4.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diberikan lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-4x-14y+44=0.$ Jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $7$ E. $13$ B. $5$ D. $10$ Pembahasan Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2+y^2-4x-14y + 44 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-14y + 44 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-7^2-49 + 44 & = 0 \\ x-2^2 + y-7^2 & = 9. \end{aligned}$$Jadi, lingkaran itu berpusat di $2, 7$ dan berjari-jari $\sqrt9 = 3.$Titik $14, 2$ berada di luar lingkaran tersebut karena substitusi pada ruas kiri menghasilkan nilai lebih dari $9.$ Untuk mencari jarak terdekat titik ini ke lingkaran, cari dulu jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, kemudian dikurangi dengan panjang jari-jarinya. $$\begin{aligned} 14, 2 \to 2, 7 \Rightarrow d & = \sqrt{14-2^2 + 2-7^2} \\ & = \sqrt{144 + 25} \\ & = 13 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran sama dengan $3$ sehingga jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\boxed{13-3=10}$ Jawaban D [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan. a. $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ b. $x^2 + y^2-4x- 8y + 25 = 0$ c. $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $x-a^2+y-b^2 = r^2$ dengan $a, b$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$. Jawaban a Persamaan $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $x- 4^2 + y-1^2 = 36$ Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $4, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6.$ Jawaban b Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut. $$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-8y + 25 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x-2^2 + y-4^2 & =-5 \end{aligned}$$Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran. Jawaban c Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran. [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut. Berdiameter $10$ dan berpusat di titik $-5,5$; Berjari-jari $7$ dan berpusat di titik $1,0$; Berjari-jari $\sqrt{3}$ dan berpusat di titik asal. Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Diketahui $d = 10, r = 5$, $r^2 = 25, a =-5, b = 5.$ Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+5^2+y-5^2 = 25}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$ Jawaban b Diketahui $r = 7, r^2 = 49$, $a = 1, b = 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-1^2+y^2 = 49}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$ Jawaban c Diketahui $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0.$ Catatan Titik asal disebut juga titik pusat koordinat, yaitu $0, 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2 = 3}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut. a. $x+5^2+y-3^2 = 16$ b. $x^2+y^2+10x-8y-8=0$ c. $3x^2+3y^2+12x-9y = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$. Jadi, kooordinat titik pusatnya di $-5,3$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang. Jawaban b Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ x^2+10x + y^2-8y + 8 & = 0 \\ x+5^2- 25 + y-4^2-16 + 8 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 = 33 \end{aligned}$$Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.$ Jadi, koordinat titik pusatnya di $-5,4$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang. Jawaban c Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ x^2+4x + y^2-3y & = 0 \\ x + 2^2-4 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ x + 2^2 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$ Diperoleh $a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$. Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left-2,\dfrac{3}{2}\right$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang. [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan $x-2^2 + y+5^2 = 40.$ Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu. a. Titik $A2, 5$ b. Titik $B-4,-3$ c. Titik $C0,-4$ d. Titik $D8,-7$ e. Titik $E-1,2$ f. Titik $F6,-2$ Pembahasan Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $x, y$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran. Jawaban a Titik $A2,5$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 2-2^2 + 5+5^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban b Titik $B-4,-3$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = -4-2^2 + -3+5^2 \\ & = -6^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$ Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu. Jawaban c Titik $C0,-4$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = 0-2^2 + -4+5^2 \\ & = -2^2 + 1^2 \\ & = 5 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban f Titik $F6,-2$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 6-2^2 + -2+5^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & \dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~~k \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$ [collapse] Soal Nomor 9 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik $A 2,-4, B5,-1$, dan $C2,2$. Pembahasan Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $x-a^2 + y-b^2 = r^2$, dengan $a, b$ titik pusat lingkaran. Dengan substitusi nilai $x, y$ pada persamaan itu, diperoleh $$\begin{aligned} A2,-4 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 && \cdots 1 \\ B5,-1 5-a^2 + -1-b^2 & = r^2 && \cdots 2 \\ C2,2 2-a^2 + 2-b^2 & = r^2 && \cdots 3 \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh $$\begin{aligned} -4-b^2-2-b^2 & = 0 \\ -4-b-2+b-4-b+2-b & = 0 \\-6-2b-2 & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$$Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan. $$\begin{aligned} 2-a^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ 5-a^2 + -1+1^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ 2-a^2 + 9-5-a^2 & = 0 \\ 4- 4a + a^2 + 9-25-10a + a^2 & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1. $\begin{aligned} 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 \\ 2-2^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{x-2^2 + y+1^2 = 9}$ Gambar grafiknya sebagai berikut. [collapse] Soal Nomor 10 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari gradien yang diketahui berikut. a. $x^2+y^2=4; m = 2$ b. $x^2+y^2-4x-2=0; m =-1$ c. $x^2+y^2-3x+2y-3=0; m = 1$ d. $x^2+y^2-3x-5=0; m =-3$ e. $x+2^2+y-1^2=8; m=1$ f. $x-1^2+y-5^2=10; m = 2$ g. $x^2+y+2^2=5; m =-3$ Pembahasan Jawaban a Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$. Lingkaran ini memiliki pusat di $0, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-0 & = 2x-0 \pm 2\sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$. Jawaban b Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} x-2^2-4 + y^2-2 & = 0 \\ x-2^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $2, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-1x-2 \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+-1^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$. Jawaban c Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $$\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + [y+1^2-1]-3 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32,-1\right$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1& = 1\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$. Jawaban d Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32, 0\right$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-3\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+-3^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$. Jawaban e Diketahui persamaan lingkaran $x+2^2+y-1^2=8$. Lingkaran ini memiliki pusat di $-2, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1 & = 1x-2 \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y & = x+3 \pm 4 \end{aligned}$$Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1.$ Jawaban f Diketahui persamaan lingkaran $x-1^2+y-5^2=10$. Lingkaran ini memiliki pusat di $1, 5$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-5 & = 2x-1 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 11 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ yang memenuhi kriteria berikut. tegak lurus terhadap garis $x+3y-15=0$; sejajar terhadap garis $x+3y-15=0$. Pembahasan Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni $$\begin{aligned} x-2^2-4+y+4^2-16+10 & =0 \\ x-2^2+y+4^2 & = 10 \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki titik pusat di $2,-4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Jawaban a Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =3x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + 3^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$. Jawaban b Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =-\dfrac13x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left-\dfrac13\right^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23 \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$. [collapse] Soal Nomor 12 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada koordinat $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$; koordinat $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$. Pembahasan Jawaban a Karena pusatnya di $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $X$ ke sumbu $Y$, yaitu $r = 3$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x + 3^2 + y- 2^2 & = 3^2 \\ x+3^2 + y-2^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+3^2 + y-2^2 = 9}$ Jawaban b Karena pusatnya di $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $Y$ ke sumbu $X$, yaitu $r = 2$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 2^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 4 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-4^2 + y-2^2 = 4}$ [collapse] Soal Nomor 13 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x-3^2 + y-4^2 = 25$ yang melalui titik $0,0$. Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik pusat $0,0$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya. Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut. $$\begin{aligned} x-3^2 + y-4^2 & = 25 \\ x-3^2 + mx-4^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ 1 + m^2x^2- 8m + 6x & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0.$ Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$. $\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ -8m-6^2- 41 + m^20 & = 0 \\ -8m- 6^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} \\ m & =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$ [collapse] Soal Nomor 14 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $x + y-5 = 0$ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2 + y^2- 2x-2y-34 = 0$ dan $x^2 + y^2 + 8x-2y-100 = 0$. Pembahasan Langkah 1 Menentukan titik potong kedua lingkaran Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah $\begin{aligned} x-1^2 + y-1^2 & = 36 \\ x+4^2 + y-1^2 & = 117 \end{aligned}$ Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh $$\begin{aligned} x-1^2-x + 4^2 & =-81 \\ x^2-2x + 1-x^2 + 8x + 16 & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x-1^2 + y-1^2 = 36$, sehingga didapat $\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-1\right^2 + y-1^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$ Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$. Langkah 2 Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $x_p, y_p$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti, $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-x_p^2 + y + x_p- 5^2 & = r^2 \end{aligned}$ Karena lingkaran melalui titik $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$, diperoleh $$\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \\ \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan $\begin{aligned} & \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 \\ & = \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right^2 \end{aligned}$ Jabarkan, sehingga nantinya didapat $x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$ Ini berarti, $y_p = 1$. Jadi, titik pusat lingkarannya di $4, 1$. Langkah 3 Menentukan persamaan lingkaran Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2= r^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} r^2 & = \left\dfrac{33}{5}-4\right^2 + \left1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran itu adalah $\boxed{x-4^2 + y-1^2 = \dfrac{57}{5}}$ Perhatikan grafiknya di bawah ini. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade Soal Nomor 15 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $2,1$ dan konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0.$ Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum kanonik sebagai berikut. $$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ x^2+6x + y^2+8y- 37 & = 0 \\ x+3^2-9+y+4^2-16-37 &= 0 \\ x+3^2 + y+4^2 & = 62 \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $-3,-4.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $-3,-4$ dan melalui titik $2,1$ adalah $r^2 = 2 + 3^2 + 1 + 4^2 = 50.$ Jadi, diperoleh $r^2 = 50.$ Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $\boxed{x+3^2 + y+4^2 = 50}$ [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Fungsi Kuadrat Soal Nomor 16 Hitung nilai $A, B$, dan $C$ jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$ melalui titik $3,5, -2,4$, dan $-6,-2$. Pembahasan Substitusi tiap titik sebagai nilai $x, y$ pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh $$\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ -2^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ -6^2+-2^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} 3A+5B+C =-34 & 1 \\-2A+4B+C =-20 & 2 \\-6A- 2B +C =-40 & 3 \end{cases}$ Dari $1$ dan $2$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-2A + 4B + C =-20 \\ \rule{ cm}{ \\ 5A + B =-14 &~~~4 \end{aligned}$ Dari $2$ dan $3$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-6A- 2B + C =-40 \\ \rule{ cm}{ \\ 9A + 7B = 6 &~~~5 \end{aligned}$ Selanjutnya, dari $4$ dan $5$, diperoleh $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & =-14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~35A+7B & =-98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ \\ & \! \begin{aligned} 26A& =-104 \\ A & =-4 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan gantikan $A =-4$ pada persamaan $4$ atau $5$, misalkan pada persamaan $4$ . $\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5-4+B&=-14 \\-20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}$ Substitusikan gantikan $A =-4$ dan $B = 6$ pada persamaan $1, 2$, atau $3$, misalkan pada persamaan $1$ . $\begin{aligned} 3A+5B+C & =-34 \\ 3-4 + 56 + C & =-34 \\-12+30+C&=-34 \\ C & =-52 \end{aligned}$ Jadi, nilai $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah $-4, 6$, dan $-52$. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 17 Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan $x-13^2 + y-4^2 = 16.$ Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat $11, 4, 8, 5$, dan $15, 5$, manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot? Pembahasan Jawaban a Perhatikan bahwa $x-13^2 + y-4^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $13, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Posisikan titik $13, 4$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $9, 4, 17, 4, 13, 8$, dan $13, 0$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran. Jawaban b Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $x, y$ yang diberikan ke bentuk $x-13^2 + y-4^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran sinar lampu sorot; Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran tepi sinar lampu sorot; Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran sinar lampu sorot; Untuk koordinat $11, 4$, diperoleh $\begin{aligned} 11-13^2 + 4-4^2 & = -2^2 + 0^2 \\ & = 4 16 \end{aligned}$ Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot. Untuk koordinat $15, 5$, diperoleh $$\begin{aligned} 15-13^2 + 5-4^2 & = 2^2 + 1^2 \\ & = 5 < 16 \end{aligned}$$Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi. [collapse] Soal Nomor 18 Sebuah radar ditempatkan pada koordinat $2, 3$ dan mampu mendeteksi hingga $50$ km ke segala arah. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar. Jika sebuah objek berada pada koordinat $40, 20$, dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya! Pembahasan Jawaban a Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $2, 3$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$. Persamaannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 2500.$ Jawaban b Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $x-2^2 + y-3^2$ menghasilkan $\begin{aligned} 40-2^2 + 20-3^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$ Karena itu, objek yang berada pada koordinat$40, 20$ terdeteksi oleh radar itu. [collapse] Soal Nomor 19 Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan $2y-2x-20=0$ diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan $x^2+y^2=52.$ Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik $0,0$ dihitung dari inti bumi. Pembahasan Perhatikan bahwa $\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$ Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis $\begin{aligned} x^2+x+10^2 & = 52 \\ x^2 + x^2+20x+100 & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ x+6x+4 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4.$ Untuk $x=-6$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4.$ Untuk $x=-4$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6.$ Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $-6,4$ dan $-4, 6.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Lingkaran Tingkat SD
| Εፔθμօф лωшωሟιвι | Ծ врቡср πиκի | Λатапаሢ ωк |
|---|
| ፑγոሒኑρ свиሸը | ድκէπаբ ашоባጺ | Аμօц хро удехр |
| Дιши եтрէ | ኝхоρի չочο ጩ | Զутеዛ темοկ |
| Ψω ጠачуврусрխ | Уፗθпоւէшυ ц | Еτаγотемը кл խሉайиմуц |
SekolahMenengah Pertama terjawab Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Iklan Jawaban 4.4 /5 211 tinkerwolf Ini ya, semoga dapat membantu:)) ka dpn tuh apa ya? selisih alias delta dpn apa itu yg 2x-y=-2 dpt dr mna kak? Sedang mencari solusi jawaban Matematika beserta langkah-langkahnya? Pilih kelas untuk menemukan buku sekolah Iklan
persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah1. persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah2. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah3. persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah4. Edisi lupa pelajaran kelas 8 Soal Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah5. Pihlah A, B, C atau D dengan jawaban yang paling benar ! 1. Sebuah bentuk dari hasil untuk melakukan penggabungan dari titik, garis hingga kepada warna dimana akan menjadi sebuah bentuk yang berguna untuk melakukan pencitraan terhadap sebuah hal, merupakan.... a. Melukis b. Menulis c. Gambar d. Menggambar 2. Kegiatan yang diawali dengan menentukan objek model yang akan digambar, dapat berupa hewan, tumbuh-tumbuhan, manusia dan kumpulan benda-benda yang disusun sesuai dengan komposisi, proporsi, keseimbangan dan Irama yang baik sehingga gambar memiliki satu kesatuan yang utuh, merupakan a Menggambar Ilustrasi b. Menggambar Komik Menggambar Model d. Menggambar Karikatur 3. Bahan dan alat yang digunakan untuk menggambar model adalah.... a Kertas dan pensil b. Pena dan penghapus c. Pena dan cat warna d. Semua jawaban a, b dan c benar 4. Ada beberapa prinsip-prinsip menggambar model yang perlu diperhatikan salah satunya adalah cara menyusun dan mengatur objek yang digunakan sebagai model gambar sehingga hasilnya tampak menarik dan indah. Bentuk komposisi dapat dilihat pada pola yang disusun yaitu komposisi simetris, komposisi asimetris dan komposisi sentral, merupakan... a. Keseimbangan b. Kesatuan c Proposi d. Komposisi 5. Di bawah ini yang merupakan salah satu teknik-teknik menggambar model adalah... a. Teknik Dusel b. Teknik Coret c. Teknik Pointilis d A dan C benar 6. Cara menggambar model dengan menggunakan garis sebagai pembentuk gambar yang digunakan untuk menggambar dapat berupa garis lurus, garis lengkung, garis patah-patah merupakan.... a. Teknik Linear b. Teknik Arsir c Teknik Plakat d. Teknik Akuarel 7. Persamaan teknik akuarel dengan teknik plakat adalah... a. Keduanya menggunakan alat bantu kuas b. Keduanya menggunakan bahan cat air yang diencerkan c. Keduanya dilakukan secara berulang-ulang ddan C benar 8. Mengamati model yang akan digambar sedetail mungkin, merupakan langkah-langkah menggambar model pada tahap ilustrasi adalah penggambaran sesuatu melalui eleman rupa guna menerangkan,tolong ya soalnya besok mau pts6. Persamaan garis B seperti tampak pada gambar adalah 7. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah...8. simbol dalam sebuah peta adalah sebagai... A. penjelas arti dalam suatu petaB. pelengkap dalam suatu peta agar lebih sempurnaC. penyelaras suatu peta agar tampak jelas dan indahD. pengganti dari ketampakan -ketampakan di permukaan bumi bisa dikatakan sebagai sebuah gunung jika... A. garis kontur nya sangat rapatB. garis kontur nya seperti bergerigi ke dalamC. semakin keluar maka garis kontur makin tinggiD. semakin keluar maka garis kontur makin rendah bentuk muka bumi berupa perbukitan dan cekungan pada peta topografi terletak pada... A. garis kontur yang memanjangB. di bagian tengah angka nya besarC. garis kontur yang menyerupai lingkaranD. makin keluar, angkanya makin yang digunakan sebagai dasar dalam pembuatan diagram atau penampang melintang adalah peta.. A. konturB. geologiC. tematikD. interpretasi peta maksud nya adalah.. A. membaca simbol secara sendiri-sendiriB. mengartikan simbol konvensionalC. membaca simbol dan memahaminya berkaitan dengan simbol-simbol yang lainD. memahami simbol untuk menggambarkan bentuk muka kereta api biasanya berbentuk simbol... A. bidangB. hurufC. garisD. putih pada peta umum digunakan untuk menggambarkan... A. dataran tinggiB. laut yang dalamC. puncak gunung yang tertutup saljuD. gunung yang tua warna biru, menunjukkan bahwa laut tersebut semakin.. A. dangkalB. dalamC. keruh airnyaD. yang ada dalam peta berfungsi sebagai... A. penyelaras dalam suatu peta agar tampak jelas dan indahB. pelengkap dalam suatu peta agar lebih sempurnaC. penjelas arti dalam suatu petaD. pengganti ketampakan-ketampakan di permukaan dan bentuk fisik muka bumi diperoleh dari hasil interpretasi peta... A. penggunaan lahanB. topografiC. hasil perkebunanD. persebaran penduduk9. Tolong dijawab klo bisa segeraPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalahA. 2y = x - 1B. 2y = -x - 1C. 2y = x + 1 D. 2y = -x -110. Persamaan garis h seperti tampak pada gambar adalah ....A. 3x + 2y = -6B. -3x + 2y = 6C. 2x+3y=-4D. -5x + 3y = 15please bantuu buat besok LUS11. Persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah ....A. 2y =3x+ 9B. 2y = -3x + 9C. 3y = -2x - 18D. 3y = -2x + 18tolong jawaban nya ya kak di kumpulkan besok12. Syarat peta yang baik adalah informatif artinya …A. peta tersebut mudah difahamiB. Bentuk gambar sesuai dengan aslinyaC. Luas yang dipetakan harus sesuai dengan aslinyaD. Jarak di peta harus sesuai dengan hijau pada peta menggambarkan penampakan bumi yang berupa ….A. Rawa-rawaB. Dataran rendahC. Dataran tinggiD. mempermudah mencari lokasi geografis di dalam atlas kita menggunakan….A. Daftar isiB. Daftar indeksC. LegendaD. simbol peta 1.Sungai 2.Gunung 3 Dataran rendah tinggi 5.Kota 6 Pelabuhan 7.Bendara Simbol titik dapat digunakan untuk menggambarkan penampakan permukaan bumi yang pada daftar di atas ditunjukkan dengan nomor ….A. 1, 2, 3, dan 4B. 1, 4, 5, dan 6C. 2, 3, 5, dan 7D. 2, 5, 6, dan peta umum, wilayah berwarna hijau dengan garis putus-putus menggambarkan daerah …A. dataran rendah berpasirB. dataran rendahC. hutan bakauD. dataran rendah pada peta berskala 1 menggambarkan kota A dengan kota B berjarak 5 cm, maka jarak sesungguhnya di lapangan adalah ….A. 3 kmB. 75 kmC. 7,5 kmD. 750 daftar judul peta berikut ini! 1 Peta Indonesia 2.Peta Pulau Jawa 3.Peta iklim 4.Peta Dunia 5.Peta penyebaran Penduduk 6.Peta Penyebaran Flaura dan Fauna Dari judul peta di atas yang termasuk peta umum adalah nomor ….A. 1, 2, dan 3B. 1, 2, dan 4C. 3, 4, dan 5B. Peta DigitalC. Peta KorografiD. Peta TopografiD. 3, 5, dan peta yang digambarkan dengan dengan menggunakan garis kontur adalah …A. Peta GeografiB. Peta DigitalC. Peta KorografiD. Peta Indonesia dilalui oleh dua lempeng pegunungan yaitu Sirkum Pasifik dan Mediteran, hal ini merupakan posisi Indonesia dilihat dari letak ....A. AstronomisB. GeologisC. GeografisD. dari letak geologisnya Indonesia bagian barat termasuk bagian dari benua Asia. Hal ini dapat dibuktikan dengan adanya kesamaan ..A. Mata pencaharianB. Jenis batuanC. Jenis barang tambangD. Jenis dari letak bujur, Wilayah Indonesia yang berada di 95 0 BT – 141 0 BT adalah .....A. Memiliki dua musimB. Dipengaruhi angin musonC. Perairan lautnya sangat luasD. Terbagi menjadi tiga daerah adalah penampakan permukaan bumi yang berupa ....A. daratan yang ketinggiaannya kurang dari 200 m dari permukaan lautB. daratan yang ketinggiannya berada di bawah permukaan lautC. cekungan yang dikelilingi oleh perbukitanD. lembah yang memanjang diantara yang lebih tinggi dari daerah sekitarnya dengan ketinggian di atas 700 m disebut ....A. BukitB. GunungC. PerbukitanD. Pegunungan14. Perhatikan daftar Pulau di bawah ini! 1 Sulawesi 2 Jawa 3,Bali 4,Sumatera 5.rian Barat 6.Kalimantan Dari daftar di atas pulau – pulau yang termasuk daerah Paparan Sunda adalah nomor ….A. 1, 2, dan 3B. 2,3, dan 4C. 1, 3, dan 5D. 2, 4, dan 616. 1 Badak 2.Babi Rusa 3.Simpanse 4.Komodo 5.Kakak tua 6.Kuskus 7.Tapir Yang termasuk fauna Peralihan dari daftar di atas ditunjukkan dengan nomor …A. 1. 2, dan 3B. 1, 5, dan 6C. 2, 3, dan 6D. 2, 4, dan 717. Iklim tropis berdasarkan garis lintangnya terdapat di daerah ….A. 0° – 231/ 2°B. 231/2 ° – 40°C. 40° - 661/ 2°D. 661/ 2 - 90 ° yang ada pada ketinggian 0 – 200 meter DPL dinamakan ….A. GunungB. PegununganC. Dataran rendahD. Dataran interaksi sosial akan terjadi apabila sudah ada ….A. Alat komunikasi yang canggihB. Sekelampok manusiaC. Persamaan kepentingan ke dua belah pihakD. Kontak sosial dan komunikasi20. Tujuan utama seseorang melakukan hubungan sosial adalah untuk ….A. Memperoleh perlindunganB. Memenuhi kebutuhanC. Mendapatkan kepuasanD. Mendapat pengakuan13. 1. Darilah tanda silang x huruf ab, e, atau d pada jawaban yang paling tepatsemua garis yang sejajar men11. Alat menggambar yang memiliki sifat padatdan lunak sehingga cocok untuk membuatPenilaian Tengah Semesterb. semua garis sejajar horizontalsomun garis vertikal dengan konsentamalah akan8. Benda-benda kubistis adalah kelompok10. Untuk memberikan arsiran pada gambarbertemu di du hilangtetap tegak lurusbenda yang mempunyai unsura piramidb. segitigaC, kubusd. limas9. Elips dapat disamakan dengan bentuka. bulatanb. bulat telurc. kubusd. bolaC, komikbenda-benda clips dengan cara1. Gambar yang bertungsi sebagai penghiasserta membantu memperjelas suatu tekkalimat naskah, dan lain-lain dalam dan koran disebuta. gambar kartunb. gambar reklamee gambar komika gumbaruth2. Gambar yang bersifat gambar lucu disebuta. kartunb. posterc. ilustrasid. baliho3. Kumpulan gambar ilustrasi yang tersusunberurutan dan terpadu menjadi jalinancerita bersambung disebut...a. karikaturb. kartundrubrik4. Karya seni rupa fungsi estetis adalah ....a. karya seni rupa yang bisa dilihat daritampak depanb. karya seni rupa yang mengutamakankegunaanc. karya seni rupa yang mengutamakankeindahand. karya seni rupa yang bisa dilihat daritampak samping5. Karya seni rupa yang memiliki fungsipraktis, yaitu ..a. meja, lemari, vas bunga, bufelb. meja, lemari, lukisan, patungc. meja, lemari, vas bunga, patungd. lukisan, patung, kaligrafi, foto6. Garis pandangan mata, tempat kedudukantitik-titik hilang dinamakan ....a. garis silangb. garis horizonc. garis sejajard. garis miring7. Di bawah ini yang tidak termasuk hukumperspektif adalah ....a miringb. bergelombangC. melengkungd. lurusgambar blok dan gradasi kesan semburanwarna disebut ....a kontob. spidolc. drawing pend. krayon12. Pengubahan corak atau bentuk yang tidakmeninggalkan ciri khas atau karakter danbentuk aslinya disebut....a corak realistisb. corak dekoratifC. corak karikaturisd. corak ekspresionisK13-N/SMP/Seni Budaya - VIII/Smt - Gs/v14. Persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah ....A. 2y 238 + 9B. 2y = -3x + 9C. 3y = -2x - 18D. 3y = -2x + 1815. Diketahui garis a dan b seperti tampak pada gambar. Persamaan garis c adalah 16. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah.. A. 2y=x-1 B. 2y=-x-1 C. 2y=x+1 D. 2y=-x+117. 20. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah ...A. 2y = x - 1B. 2y = -x-1C. 2y = x + 1D. 2y = -x + 118. persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah? tolong pakai caranya19. persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah..A. 2y = 3x + 9B. 2y = -3x + 9C. 3y = -2x - 18D. 3y = -2x - 18tolong pakai caranya ya!20. 1. Seluruh permukaan bumi yangmerupakan tempat hidup tumbuhan, hewan, dan manusia disebut …. * a. Ekosistem b. Lingkungan c. Populasi d. Ruang 2. Berikut ini yang menyebabkan terjadinya keterkaitan antarruang, yaitu …. * a. Adanya persamaan potensi alam yang dimiliki setiap ruang b. Suatu ruang memiliki iklim tropis di seluruh wilayah Negara c. Memiliki ciri khas berbeda-beda antara suatu ruang dengan ruang lainnya d. Adanya keadaan alam yang relative sama antara satu ruang dengan ruang lainnya 3. Desa merupakan daerah penghasilan sumber pangan, sedangkan kota merupakan tempat industri penghasil banyak barang elektronik yang jarang terdapat di desa. Kedua daerah tersebut ternyata saling membutuhkan sehingga terjadilah interaksi antarruang. Konsep interaksi antarruang yang terjadi pada permasalahan di atas adalah …. * a. Interaksi dapat menjalin banyak silahturahmi b. Interaksi dapat terjadi karena manusia semakin serakah c. Interaksi yang terjadi karena semua kebutuhan terjadi pada suatu ruang d. Interaksi yang terjadi karena setiap wilayah memiliki karakteristik yang berbeda 4. Ibu tuti akan menjual hasil pertanian ke wilayah B. akan tetapi jembatan penghubung antarkedua wilayah tersebut terputus sehingga ibu tuti berpindah haluan ke wilayah C. permasalah tersebut dikenal sebagai …. * A. Kesempatan antara B. Keterhubungan C. Kemudahan penyaluran D. Saling melengkapi 5. Berikut ini merupakan fungsi-fungsi petas, kecuali …. * a. Menunjukkan lokasi suatu tempat atau ketampakan alam di permukaan bumi b. Memberikan gambaran mengenai luas dan bentuk ketampakan di permukaan bumi c. Menunjukkan ketinggian tempat d. Menentukan arah mata angin 6. Jika pada suatu peta tertulis skala 1 maka berarti …. * a. 1 cm pada peta mewakili 5,5 cm pada jarak sesungguhnya b. 1 cm pada peta mewakili 55 km pada jarak sesungguhnya c. 1 cm pada peta mewakili 550 km pada jarak sesungguhnya d. 1 km pada peta mewakili 5,5 km pada jarak sesungguhnya 7. Berdasarkan letak astronomis, Indonesia termasuk kedalam wilayah * a. Dingin b. Sedang c. Subtropics d. Tropis 8. Letak geografis suatu Negara ditinjau dari …. * a. Kenyataan letaknya di permukaan bumi b. Posisi garis lintang dan garis bujur c. Pola kehidupan masyarakatnya d. Jenis tanah dan persebarannya 9. Akibat letak geografisnya, Indonesia memiliki dua musim, yaitu …. * a. Hujan dan semi b. Hujan dan tropis c. Kemarau dan hujan d. Semi dan salju 10. Hasil tambang seperti batu bara, bauksit, emas dan perak termasuk sumber daya ekonomi yang berasal dari sumber daya …. * a. Modal b. Alam c. Manusia d. Keahlian 1. persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah ma = -2Tegak lurus, berarti ma x mb = -1 => mb= 1/2Melalui -1,0 makay - 0 = 1/2x +12y = x + 1 2. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalahJawabangambarnya manaya kok gak ada 3. persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah Ini ya, semoga dapat membantu 4. Edisi lupa pelajaran kelas 8 Soal Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah gradien garis a= Δy/Δx = 2-0/0-1 = 2karena b tegak lurus a, maka m = -1/2persamaan garis yg melalui -1,0 y-y1 = mx-x1 y-0 = -1/2x+1 2y = -x-12y+x = -1 5. Pihlah A, B, C atau D dengan jawaban yang paling benar ! 1. Sebuah bentuk dari hasil untuk melakukan penggabungan dari titik, garis hingga kepada warna dimana akan menjadi sebuah bentuk yang berguna untuk melakukan pencitraan terhadap sebuah hal, merupakan.... a. Melukis b. Menulis c. Gambar d. Menggambar 2. Kegiatan yang diawali dengan menentukan objek model yang akan digambar, dapat berupa hewan, tumbuh-tumbuhan, manusia dan kumpulan benda-benda yang disusun sesuai dengan komposisi, proporsi, keseimbangan dan Irama yang baik sehingga gambar memiliki satu kesatuan yang utuh, merupakan a Menggambar Ilustrasi b. Menggambar Komik Menggambar Model d. Menggambar Karikatur 3. Bahan dan alat yang digunakan untuk menggambar model adalah.... a Kertas dan pensil b. Pena dan penghapus c. Pena dan cat warna d. Semua jawaban a, b dan c benar 4. Ada beberapa prinsip-prinsip menggambar model yang perlu diperhatikan salah satunya adalah cara menyusun dan mengatur objek yang digunakan sebagai model gambar sehingga hasilnya tampak menarik dan indah. Bentuk komposisi dapat dilihat pada pola yang disusun yaitu komposisi simetris, komposisi asimetris dan komposisi sentral, merupakan... a. Keseimbangan b. Kesatuan c Proposi d. Komposisi 5. Di bawah ini yang merupakan salah satu teknik-teknik menggambar model adalah... a. Teknik Dusel b. Teknik Coret c. Teknik Pointilis d A dan C benar 6. Cara menggambar model dengan menggunakan garis sebagai pembentuk gambar yang digunakan untuk menggambar dapat berupa garis lurus, garis lengkung, garis patah-patah merupakan.... a. Teknik Linear b. Teknik Arsir c Teknik Plakat d. Teknik Akuarel 7. Persamaan teknik akuarel dengan teknik plakat adalah... a. Keduanya menggunakan alat bantu kuas b. Keduanya menggunakan bahan cat air yang diencerkan c. Keduanya dilakukan secara berulang-ulang ddan C benar 8. Mengamati model yang akan digambar sedetail mungkin, merupakan langkah-langkah menggambar model pada tahap ilustrasi adalah penggambaran sesuatu melalui eleman rupa guna menerangkan,tolong ya soalnya besok mau pts1. a. Melukis2. c. Menggambar Model3. d. Semua Jawaban benar4. c. Proposi5. d. A dan C benar 6. Persamaan garis B seperti tampak pada gambar adalah Kategori Matematika Bab Persamaan garis Kelas XI SMA Perhitungan dapat dilihat pada lampiran 7. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah...Jawab1 - 2 KAHPenjelasan dengan langkah-langkah 8. simbol dalam sebuah peta adalah sebagai... A. penjelas arti dalam suatu petaB. pelengkap dalam suatu peta agar lebih sempurnaC. penyelaras suatu peta agar tampak jelas dan indahD. pengganti dari ketampakan -ketampakan di permukaan bumi bisa dikatakan sebagai sebuah gunung jika... A. garis kontur nya sangat rapatB. garis kontur nya seperti bergerigi ke dalamC. semakin keluar maka garis kontur makin tinggiD. semakin keluar maka garis kontur makin rendah bentuk muka bumi berupa perbukitan dan cekungan pada peta topografi terletak pada... A. garis kontur yang memanjangB. di bagian tengah angka nya besarC. garis kontur yang menyerupai lingkaranD. makin keluar, angkanya makin yang digunakan sebagai dasar dalam pembuatan diagram atau penampang melintang adalah peta.. A. konturB. geologiC. tematikD. interpretasi peta maksud nya adalah.. A. membaca simbol secara sendiri-sendiriB. mengartikan simbol konvensionalC. membaca simbol dan memahaminya berkaitan dengan simbol-simbol yang lainD. memahami simbol untuk menggambarkan bentuk muka kereta api biasanya berbentuk simbol... A. bidangB. hurufC. garisD. putih pada peta umum digunakan untuk menggambarkan... A. dataran tinggiB. laut yang dalamC. puncak gunung yang tertutup saljuD. gunung yang tua warna biru, menunjukkan bahwa laut tersebut semakin.. A. dangkalB. dalamC. keruh airnyaD. yang ada dalam peta berfungsi sebagai... A. penyelaras dalam suatu peta agar tampak jelas dan indahB. pelengkap dalam suatu peta agar lebih sempurnaC. penjelas arti dalam suatu petaD. pengganti ketampakan-ketampakan di permukaan dan bentuk fisik muka bumi diperoleh dari hasil interpretasi peta... A. penggunaan lahanB. topografiC. hasil perkebunanD. persebaran penduduk d pengganti dari ketampakan ketampakan d permukaan bumk 9. Tolong dijawab klo bisa segeraPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalahA. 2y = x - 1B. 2y = -x - 1C. 2y = x + 1 D. 2y = -x -1gradien a = ma sejak garis a ke arah kanan,ma = positif+ma = 2/1 = 2 kita langsung melakukan y/x, karena dua titik tersebut masing masing terletak garis x dan ygradien b = mbsejak garis b tegak lurus dengan garis amb×ma = -1[tex]mb = \frac{ - 1}{ma} = \frac{ - 1}{2} \\ \\ = - \frac{1}{2} [/tex]garis b melalui -1,0y1 = 0x1 = -1persamaan garis b y - y1 = mbx-x1[tex]y - 0 = - \frac{1}{2} x - - 1 \\ \\ y = - \frac{1}{2} x + 1[/tex]kali kedua ruas dengan 2[tex]2y = 2 - \frac{1}{2} x + 1 \\ \\ 2y = - x + 1 \\ \\ 2y = - x - 1[/tex]JAWABAND 10. Persamaan garis h seperti tampak pada gambar adalah ....A. 3x + 2y = -6B. -3x + 2y = 6C. 2x+3y=-4D. -5x + 3y = 15please bantuu buat besok LUSJawabanmenurut aku B kalau ga salah 11. Persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah ....A. 2y =3x+ 9B. 2y = -3x + 9C. 3y = -2x - 18D. 3y = -2x + 18tolong jawaban nya ya kak di kumpulkan besokgaris p dan garis q saling tegak luruscari dahulu gradien garis q yang melalui titik 3,0 dan 0,-2[tex]m = \frac{y2 - y1}{x2 - x1} \\ = \frac{ - 2 - 0}{0 - 3} \\ = \frac{2}{3} [/tex]karena garis p dan garis q saling tegak lurua maka hasil kali gradiennya adalah -1[tex] = - 1 \\ \frac{2}{3} .mp = - 1 \\ mp = - \frac{3}{2} [/tex]persamaan garis p melalui titik 3,0 dan gradien -3/2[tex]y - y1 = mx - x1 \\ y - 0 = - \frac{3}{2} x - 3 \\ 2y = - 3x - 3 \\ 2y = - 3x + 9[/tex] 12. Syarat peta yang baik adalah informatif artinya …A. peta tersebut mudah difahamiB. Bentuk gambar sesuai dengan aslinyaC. Luas yang dipetakan harus sesuai dengan aslinyaD. Jarak di peta harus sesuai dengan hijau pada peta menggambarkan penampakan bumi yang berupa ….A. Rawa-rawaB. Dataran rendahC. Dataran tinggiD. mempermudah mencari lokasi geografis di dalam atlas kita menggunakan….A. Daftar isiB. Daftar indeksC. LegendaD. simbol peta 1.Sungai 2.Gunung 3 Dataran rendah tinggi 5.Kota 6 Pelabuhan 7.Bendara Simbol titik dapat digunakan untuk menggambarkan penampakan permukaan bumi yang pada daftar di atas ditunjukkan dengan nomor ….A. 1, 2, 3, dan 4B. 1, 4, 5, dan 6C. 2, 3, 5, dan 7D. 2, 5, 6, dan peta umum, wilayah berwarna hijau dengan garis putus-putus menggambarkan daerah …A. dataran rendah berpasirB. dataran rendahC. hutan bakauD. dataran rendah pada peta berskala 1 menggambarkan kota A dengan kota B berjarak 5 cm, maka jarak sesungguhnya di lapangan adalah ….A. 3 kmB. 75 kmC. 7,5 kmD. 750 daftar judul peta berikut ini! 1 Peta Indonesia 2.Peta Pulau Jawa 3.Peta iklim 4.Peta Dunia 5.Peta penyebaran Penduduk 6.Peta Penyebaran Flaura dan Fauna Dari judul peta di atas yang termasuk peta umum adalah nomor ….A. 1, 2, dan 3B. 1, 2, dan 4C. 3, 4, dan 5B. Peta DigitalC. Peta KorografiD. Peta TopografiD. 3, 5, dan peta yang digambarkan dengan dengan menggunakan garis kontur adalah …A. Peta GeografiB. Peta DigitalC. Peta KorografiD. Peta Indonesia dilalui oleh dua lempeng pegunungan yaitu Sirkum Pasifik dan Mediteran, hal ini merupakan posisi Indonesia dilihat dari letak ....A. AstronomisB. GeologisC. GeografisD. dari letak geologisnya Indonesia bagian barat termasuk bagian dari benua Asia. Hal ini dapat dibuktikan dengan adanya kesamaan ..A. Mata pencaharianB. Jenis batuanC. Jenis barang tambangD. Jenis dari letak bujur, Wilayah Indonesia yang berada di 95 0 BT – 141 0 BT adalah .....A. Memiliki dua musimB. Dipengaruhi angin musonC. Perairan lautnya sangat luasD. Terbagi menjadi tiga daerah adalah penampakan permukaan bumi yang berupa ....A. daratan yang ketinggiaannya kurang dari 200 m dari permukaan lautB. daratan yang ketinggiannya berada di bawah permukaan lautC. cekungan yang dikelilingi oleh perbukitanD. lembah yang memanjang diantara yang lebih tinggi dari daerah sekitarnya dengan ketinggian di atas 700 m disebut ....A. BukitB. GunungC. PerbukitanD. Pegunungan14. Perhatikan daftar Pulau di bawah ini! 1 Sulawesi 2 Jawa 3,Bali 4,Sumatera 5.rian Barat 6.Kalimantan Dari daftar di atas pulau – pulau yang termasuk daerah Paparan Sunda adalah nomor ….A. 1, 2, dan 3B. 2,3, dan 4C. 1, 3, dan 5D. 2, 4, dan 616. 1 Badak 2.Babi Rusa 3.Simpanse 4.Komodo 5.Kakak tua 6.Kuskus 7.Tapir Yang termasuk fauna Peralihan dari daftar di atas ditunjukkan dengan nomor …A. 1. 2, dan 3B. 1, 5, dan 6C. 2, 3, dan 6D. 2, 4, dan 717. Iklim tropis berdasarkan garis lintangnya terdapat di daerah ….A. 0° – 231/ 2°B. 231/2 ° – 40°C. 40° - 661/ 2°D. 661/ 2 - 90 ° yang ada pada ketinggian 0 – 200 meter DPL dinamakan ….A. GunungB. PegununganC. Dataran rendahD. Dataran interaksi sosial akan terjadi apabila sudah ada ….A. Alat komunikasi yang canggihB. Sekelampok manusiaC. Persamaan kepentingan ke dua belah pihakD. Kontak sosial dan komunikasi20. Tujuan utama seseorang melakukan hubungan sosial adalah untuk ….A. Memperoleh perlindunganB. Memenuhi kebutuhanC. Mendapatkan kepuasanD. Mendapat pengakuanJawaban1. A2. B3. D4. D5. B6. B7. B8. D9. C10. D11. A12. C13. C14. B16. A17. B18. C19. D20. B 13. 1. Darilah tanda silang x huruf ab, e, atau d pada jawaban yang paling tepatsemua garis yang sejajar men11. Alat menggambar yang memiliki sifat padatdan lunak sehingga cocok untuk membuatPenilaian Tengah Semesterb. semua garis sejajar horizontalsomun garis vertikal dengan konsentamalah akan8. Benda-benda kubistis adalah kelompok10. Untuk memberikan arsiran pada gambarbertemu di du hilangtetap tegak lurusbenda yang mempunyai unsura piramidb. segitigaC, kubusd. limas9. Elips dapat disamakan dengan bentuka. bulatanb. bulat telurc. kubusd. bolaC, komikbenda-benda clips dengan cara1. Gambar yang bertungsi sebagai penghiasserta membantu memperjelas suatu tekkalimat naskah, dan lain-lain dalam dan koran disebuta. gambar kartunb. gambar reklamee gambar komika gumbaruth2. Gambar yang bersifat gambar lucu disebuta. kartunb. posterc. ilustrasid. baliho3. Kumpulan gambar ilustrasi yang tersusunberurutan dan terpadu menjadi jalinancerita bersambung disebut...a. karikaturb. kartundrubrik4. Karya seni rupa fungsi estetis adalah ....a. karya seni rupa yang bisa dilihat daritampak depanb. karya seni rupa yang mengutamakankegunaanc. karya seni rupa yang mengutamakankeindahand. karya seni rupa yang bisa dilihat daritampak samping5. Karya seni rupa yang memiliki fungsipraktis, yaitu ..a. meja, lemari, vas bunga, bufelb. meja, lemari, lukisan, patungc. meja, lemari, vas bunga, patungd. lukisan, patung, kaligrafi, foto6. Garis pandangan mata, tempat kedudukantitik-titik hilang dinamakan ....a. garis silangb. garis horizonc. garis sejajard. garis miring7. Di bawah ini yang tidak termasuk hukumperspektif adalah ....a miringb. bergelombangC. melengkungd. lurusgambar blok dan gradasi kesan semburanwarna disebut ....a kontob. spidolc. drawing pend. krayon12. Pengubahan corak atau bentuk yang tidakmeninggalkan ciri khas atau karakter danbentuk aslinya disebut....a corak realistisb. corak dekoratifC. corak karikaturisd. corak ekspresionisK13-N/SMP/Seni Budaya - VIII/Smt - Gs/vJawaban 14. Persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah ....A. 2y 238 + 9B. 2y = -3x + 9C. 3y = -2x - 18D. 3y = -2x + 18Jawabanmaaf gak ada gambar nya 15. Diketahui garis a dan b seperti tampak pada gambar. Persamaan garis c adalah Jawabannya B. x+2y+8=0 16. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah.. A. 2y=x-1 B. 2y=-x-1 C. 2y=x+1 D. 2y=-x+1 persamaan garis b seperti gambar tadi jawab nya yang 17. 20. Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah ...A. 2y = x - 1B. 2y = -x-1C. 2y = x + 1D. 2y = -x + 1Jawabangradien garis a adalah [tex] \frac{2 - 0}{0 - - 1} = \frac{2}{1} = 2[/tex]Persamaan garis b tegak lurus a melalui -1,0 adalahy-0 = -1/2x+1y=-½x-½2y=-x-1Jawaban BPenjelasan dengan langkah-langkahDiketahui 1,2 = x¹ , y¹m = y/x = 2/1 = 2 karena garis a dan b saling berpotongan maka m² = -½Ditanya per. garis bDijawab y - y¹ = m x - x¹y - 2 = -½ x - 1 Dikali 22y - 2 = - 1 x - 12y - 4 = -x + 12y = -x + 1 + 42y = -x + 5 18. persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah? tolong pakai caranya gradien garis a= Δy/Δx = 2-0/0-1 = 2karena b tegak lurus a, maka m = -1/2persamaan garis yg melalui -1,0 y-y1 = mx-x1 y-0 = -1/2x+1 2y = -x-1jadi 2y+x = -1 19. persamaan garis p seperti tampak pada gambar adalah..A. 2y = 3x + 9B. 2y = -3x + 9C. 3y = -2x - 18D. 3y = -2x - 18tolong pakai caranya ya! kalau misalnya jawabannya salah 20. 1. Seluruh permukaan bumi yangmerupakan tempat hidup tumbuhan, hewan, dan manusia disebut …. * a. Ekosistem b. Lingkungan c. Populasi d. Ruang 2. Berikut ini yang menyebabkan terjadinya keterkaitan antarruang, yaitu …. * a. Adanya persamaan potensi alam yang dimiliki setiap ruang b. Suatu ruang memiliki iklim tropis di seluruh wilayah Negara c. Memiliki ciri khas berbeda-beda antara suatu ruang dengan ruang lainnya d. Adanya keadaan alam yang relative sama antara satu ruang dengan ruang lainnya 3. Desa merupakan daerah penghasilan sumber pangan, sedangkan kota merupakan tempat industri penghasil banyak barang elektronik yang jarang terdapat di desa. Kedua daerah tersebut ternyata saling membutuhkan sehingga terjadilah interaksi antarruang. Konsep interaksi antarruang yang terjadi pada permasalahan di atas adalah …. * a. Interaksi dapat menjalin banyak silahturahmi b. Interaksi dapat terjadi karena manusia semakin serakah c. Interaksi yang terjadi karena semua kebutuhan terjadi pada suatu ruang d. Interaksi yang terjadi karena setiap wilayah memiliki karakteristik yang berbeda 4. Ibu tuti akan menjual hasil pertanian ke wilayah B. akan tetapi jembatan penghubung antarkedua wilayah tersebut terputus sehingga ibu tuti berpindah haluan ke wilayah C. permasalah tersebut dikenal sebagai …. * A. Kesempatan antara B. Keterhubungan C. Kemudahan penyaluran D. Saling melengkapi 5. Berikut ini merupakan fungsi-fungsi petas, kecuali …. * a. Menunjukkan lokasi suatu tempat atau ketampakan alam di permukaan bumi b. Memberikan gambaran mengenai luas dan bentuk ketampakan di permukaan bumi c. Menunjukkan ketinggian tempat d. Menentukan arah mata angin 6. Jika pada suatu peta tertulis skala 1 maka berarti …. * a. 1 cm pada peta mewakili 5,5 cm pada jarak sesungguhnya b. 1 cm pada peta mewakili 55 km pada jarak sesungguhnya c. 1 cm pada peta mewakili 550 km pada jarak sesungguhnya d. 1 km pada peta mewakili 5,5 km pada jarak sesungguhnya 7. Berdasarkan letak astronomis, Indonesia termasuk kedalam wilayah * a. Dingin b. Sedang c. Subtropics d. Tropis 8. Letak geografis suatu Negara ditinjau dari …. * a. Kenyataan letaknya di permukaan bumi b. Posisi garis lintang dan garis bujur c. Pola kehidupan masyarakatnya d. Jenis tanah dan persebarannya 9. Akibat letak geografisnya, Indonesia memiliki dua musim, yaitu …. * a. Hujan dan semi b. Hujan dan tropis c. Kemarau dan hujan d. Semi dan salju 10. Hasil tambang seperti batu bara, bauksit, emas dan perak termasuk sumber daya ekonomi yang berasal dari sumber daya …. * a. Modal b. Alam c. Manusia d. KeahlianJawaban1. A. ciri khas berbeda beda antara suatu ruang dengan ruang terjadi karena semua kabutuhan terjadi pada suatu kemudahan penyaluran .
Persamaangaris b seperti tampak pada gambar di samping adalah. a. 2y = x - 1 b. 2y = -x - 1 c. 2y = x + 1 d. 2y = -x + 1. Bentuk Persamaan Garis Lurus dan Grafiknya; PERSAMAAN GARIS LURUS; ALJABAR; Matematika; Share. Cek video lainnya. Sukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk! Matematika; Fisika; Kimia; 12. SMA
Kelas 8 SMPPERSAMAAN GARIS LURUSBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaGambarlah garis-garis dengan persamaan berikut ini dengan terlebih dahulu menentukan nilai x jika y = 0 dan menentukan nilai y jika x = 0. 2x + y = 6Bentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPERSAMAAN GARIS LURUSALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0203Dari persamaan garis berikut i y = 2x - 3 ii y =3x -...0226Diantara persamaan-persamaan berikut ini; manakah yang bu...0220Grafik persamaan garis lurus 2y+x=4 adalah ....A. y x B y...Teks videoBerikut ini kita memiliki 2 x + 9 = 6 karena kita disuruh untuk menggambarkan garis-garis dengan persamaan berikut ini maka kita harus terlebih dahulu menentukan titik potong pada sumbu x dan juga sumbu y pada grafik dengan memasukkan nilai x = 0 dan juga y = 0. Jadi pertama kita akan memasukkan nilai x = 0 terlebih dahulu. Jika kita masukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan 2 dikalikan dengan 0 ditambah sehingga jika 2 dikalikan dengan 0 menjadi 0 maka kita tidak perlu menuliskan nomornya lagi di langsung saja kita Tuliskan y = 6 karena disini diberitahu bahwa x = 0 dan hasil akhir dari nya adalah 6 maka kita dapat menentukan bahwa titik koordinatnya adalah koma 6 selanjutnya kita akan memasukkan nilai y = 0 ke dalam rumus Jadi jika y = 0 kita akan memperoleh 2 x + 0 = 6 dan juga karena nol tidak bernilai apapun maka kita bisa langsung tulis 2 x = 6 sehingga kita dapat memperoleh nilai x yaitu 3 x = 0 dan X = 3 sehingga kita dapat memperoleh nilai titik koordinat yang kedua yaitu 3,0 dimana kita akan menggambarkan garis-garisnya terlihat atau tampak seperti ini dikatakan sebagai sumbu x adalah garis yang horizontal sedangkan garis yang dikatakan sebagai sumbu y adalah garis yang vertikal dan step selanjutnya atau langkah selanjutnya kita akan menandai titik titik koordinat pada grafik Jadi yang pertama adalah titik 0,6 jadi titik 0,6 Tahu semua ada disini yang ditandai dengan titik berwarna merah. Selain itu titik koordinat yang kedua adalah titik 3,0 yang ditandai oleh titik pada sumbu-x ini kita akan gabungkan kedua titik ini dengan satu garis seperti ini maka garis dengan persamaan 2 x + y = 6 akan tampak seperti ini pada grafik sampai jumpa pada soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul
Darigambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan Persamaan seperti 3x + 2y 6 ini disebut persamaan linear dengan dua variabel. Perhatikan persamaan-persamaan berikut. 2. 2a-b=1 Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel. Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x
Geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang bangun dan bentuk. Geometri identik dengan visualisasi gambar yang perlu dihadirkan untuk memahami bagaimana sifat-sifat bentuk dan bangun tersebut. Pada umumnya, geometri dibagi menjadi dua bagian utama, yakni geometri bangun datar dan geometri bangun ruang. Meskipun begitu, geometri sebenarnya dikaji secara luas apabila dipelajari secara lebih mendalam. Berikut ini telah disediakan sejumlah soal geometri bangun datar yang juga telah dilengkapi dengan pembahasannya untuk setiap nomor. Soal ini cocok dipelajari untuk siswa/i SMP dan SMA, terutama bagi mereka yang sedang mempersiapkan lomba. Semoga dapat membantu meningkatkan kemampuan menjelajahi dunia geometri. Quote by Confucius Mengetahui bahwa sesuatu salah, tetapi tetap melakukannya, itulah yang benar-benar disebut sebagai kesalahan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 6 persegi seperti tampak pada gambar. Panjang sisi persegi terkecil adalah 1 cm. Panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ cm D. $7$ cm B. $5$ cm E. $8$ cm C. $6$ cm Pembahasan Misalkan persegi yang berwarna kuning memiliki panjang sisi $x$ cm. Selanjutnya, kita peroleh panjang sisi persegi yang lain dalam $x$ seperti tampak pada gambar di atas. Perhatikan panjang dan lebar sisi persegi panjang terbesar. Lebarnya adalah $x + 2,$ sedangkan panjangnya jika dipandang dari sisi bawah adalah $x-1+x-2 = 2x-3.$ Karena persegi memiliki empat sisi yang sama panjang, kita peroleh $$\begin{aligned} x+2 & = 2x-3 \\ \Rightarrow x & = 5. \end{aligned}$$Dengan demikian, panjang sisi persegi terbesar adalah $\boxed{5 + 2 = 7~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar Tingkat Lanjut Soal Nomor 2 Sebuah persegi dengan total luas $125~\text{cm}^2$ dibagi menjadi lima daerah yang sama luasnya seperti gambar. Daerah itu berupa empat persegi dan bangun datar berbentuk huruf L. Panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L tersebut adalah $\cdots$ cm. A. $1$ D. $3\sqrt5-1$ B. $1,2$ E. $3\sqrt5+1$ C. $5\sqrt5-10$ Pembahasan Karena luas total persegi besar adalah $125~\text{cm}^2,$ maka luas masing-masing daerah adalah $125 \div 5 = 25~\text{cm}^2.$ Ini menunjukkan bahwa panjang sisi persegi adalah $5~\text{cm}.$ Misalkan panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L adalah $x.$ Perhatikan gambar. Luas bangun ini juga $25~\text{cm}^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 10x + 10+xx & = 25 \\ 10x + 10x + x^2 & = 25 \\ x^2 + 20x & = 25 \\ x+10^2-100 & = 25 \\ x+10^2 &= 125\\ x+10 & = \pm 5\sqrt5 \\ x & = \pm 5\sqrt5-10. \end{aligned}$$Karena ukuran panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diambil $x = 5\sqrt5-10.$ Jadi, panjang sisi terpendek tersebut adalah $\boxed{5\sqrt5-10~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 3 Perhatikan gambar persegi berikut. Persegi kecil yang diberi warna jingga memiliki luas yang sama. Jika panjang sisinya $1$ satuan, maka panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots$ satuan. A. $\sqrt2$ D. $2+2\sqrt2$ B. $2$ E. $2\sqrt2 + 4$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Karena panjang sisi persegi kecil adalah $1$ satuan, maka panjang diagonalnya dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ satuan. Jadi, panjang sisi persegi terbesar adalah $$\boxed{1 + \sqrt2 + \sqrt2 + 1 = 2 + 2\sqrt2~\text{satuan}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 4 Dua segitiga sama sisi yang kongruen dengan keliling $24$ cm tumpang-tindih sedemikian sehingga sisi-sisinya saling sejajar. Keliling segi enam yang terbentuk dari irisan kedua segitiga itu adalah $\cdots \cdot$ A. $11$ cm D. $16$ cm B. $12$ cm E. $18$ cm C. $14$ cm Pembahasan Perhatikan bahwa posisi kedua segitiga tersebut membentuk beberapa daerah yang berbentuk segitiga sama sisi. Kita misalkan panjang sisinya masing-masing $a, b,$ dan $c$ seperti tampak pada gambar. Karena keliling segitiga sama sisi yang besar adalah $24$ cm, maka panjang sisinya adalah $24 \div 3 = 8$ cm. Permisalan sebelumnya menunjukkan bahwa $a + b + c = 8$ cm. Sekarang perhatikan segi enam yang terbentuk. Kelilingnya adalah jumlah panjang semua sisinya, yaitu $$\boxed{2a + 2b + 2c = 2a + b + c = 28 = 16~\text{cm}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku di $P$ dengan $PQ = 2$ dan $PR = 2\sqrt3.$ Garis tinggi $PL$ memotong garis berat $RM$ di titik $F.$ Panjang $PF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$ D. $\dfrac{4\sqrt3}{9}$ B. $\dfrac{3\sqrt3}{7}$ E. $\dfrac{5\sqrt3}{7}$ C. $\dfrac{4\sqrt3}{7}$ Pembahasan Misalkan segitiga $PQR$ tersebut diletakkan pada bidang koordinat Kartesius sedemikian sehingga titik $P$ berada di titik asal $0, 0.$ Dengan demikian, diperoleh $Q2, 0, M1, 0,$ dan $R0, 2\sqrt3.$ Kita akan mencari koordinat $F$ dengan terlebih dahulu mencari persamaan garis $MR$ dan $PL.$ Persamaan garis $MR$ Karena $M1, 0$ dan $R0, 2\sqrt3,$ maka persamaan garisnya adalah $1y + 2\sqrt3x = 12\sqrt3$ atau disederhanakan menjadi $y + 2\sqrt3x = 2\sqrt3.$ Persamaan garis $PL$ Perhatikan bahwa $PL \perp QR.$ Gradien garis $QR$ adalah $m_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2\sqrt3}{2} = -\sqrt3.$ Persamaan garis yang tegak lurus dengannya, yaitu $PL,$ bergradien $m_{PL} = -\dfrac{1}{m_{QR}} = \dfrac{1}{\sqrt3}.$ Persamaan garis yang melalui titik $P0,0$ dan bergradien $m_{QR} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-0 & = \dfrac{1}{\sqrt3}x-0 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x. \end{aligned}$$ Kita peroleh dua persamaan berikut. $$\begin{cases} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x \end{cases}$$Selesaikan dengan metode substitusi. $$\begin{aligned} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \Rightarrow \dfrac13\sqrt3x + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \dfrac73\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ x & = \dfrac67 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{6}{7\sqrt3}.$ Jadi, koordinat $F$ adalah $\left\dfrac67, \dfrac{6}{7\sqrt3}\right.$ Panjang $PF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras karena kedua titik ujungnya telah diketahui koordinatnya. $$\begin{aligned} PF & = \sqrt{\left\dfrac67-0\right^2+\left\dfrac{6}{7\sqrt3}-0\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{36}{49}+\dfrac{36}{49 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 36}{49 \cdot 3}} \\ & = \dfrac{12}{7\sqrt3} \\ & = \dfrac{4\sqrt3}{7} \end{aligned}$$Jadi, panjang $PF$ adalah $\boxed{\dfrac{4\sqrt3}{7}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 $PA$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $O.$ Jika $PC$ membagi dua sudut $APB$ sama besar, maka berapakah besar sudut $ACP$? A. $30^\circ.$ C. $50^\circ.$ E. $75^\circ.$ B. $45^\circ.$ D. $60^\circ.$ Pembahasan Tarik garis dari $O$ ke $A.$ Karena $PA$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp PA.$ Perhatikan juga bahwa $AB$ dan $AO$ menghadap busur yang sama sehingga sudut pada $AO$ nilainya dua kali dari sudut pada $AB.$ Kita lakukan permisalan seperti yang tampak pada gambar berikut. Pada $\triangle ACP$ dan $\triangle BCP$ berturut-turut berlaku $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ && \cdots 1 \\ \alpha + y + p & = 180^\circ && \cdots 2 \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan itu sehingga didapat $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + x + y + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 180^\circ + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle AOP$ berlaku $$\begin{aligned} 90^\circ + 2a + 2p & = 180^\circ \\ 2a + 2p & = 90^\circ \\ a + p & = 45^\circ \\ \alpha & = 45^\circ-p. \end{aligned}$$Selanjutnya, pada $\triangle ABP$ berlaku $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ-p + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + p & = 135^\circ. \end{aligned}$$Substitusi hasil ini ke persamaan $1.$ $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ \\ \angle A + p + x & = 180^\circ \\ 135^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $ACP$ adalah $\boxed{45^\circ}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Lingkaran Tingkat SD Soal Nomor 7 Dua segi enam beraturan yang sama diletakkan di dalam sebuah jajaran genjang seperti tampak pada gambar. Berapa perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang? A. $1 2$ D. $2 3$ B. $1 3$ E. $2 5$ C. $1 4$ Pembahasan Bagilah jajaran genjang beserta segi enam dengan ruas-ruas garis sehingga diperoleh sejumlah segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Ada $24$ segitiga sama sisi pembentuk jajaran genjang, sedangkan ada $12$ segitiga sama sisi pembentuk segi enam. Jadi, perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang adalah $\boxed{12 24 = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 8 Gambar di bawah merupakan segi delapan oktagon beraturan. Jika luas daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka luas segi delapan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ D. $24$ B. $21$ E. $28$ C. $22$ Pembahasan Pada segi delapan beraturan, panjang delapan sisinya sama. Kita misalkan sebagai $x.$ Perhatikan sketsa gambar berikut. Daerah yang diarsir adalah trapesium sama kaki. Panjang sisi siku segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} a^2 + a^2 & = x^2 \\ 2a^2 & = x^2 \\ a^2 & = \dfrac{x^2}{2} \\ a & = \sqrt{\dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt2} \end{aligned}$$Karena luas trapesium daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka kita peroleh $$\begin{aligned} \text{Luas trapesium} & = 6 \\ 2 \cdot \text{Luas segitiga} + \text{Luas persegi panjang} & = 6 \\ 2 \cdot \dfrac12 \cdot \left\dfrac{x}{\sqrt2}\right^2 + \dfrac{x}{\sqrt2} \cdot x & = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{\sqrt2} & = 6 \\ x^2 \left\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2\right & = 6 \\ x^2 & = \dfrac{6}{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2} \\ x & = \dfrac{12}{1 + \sqrt2}. \end{aligned}$$Luas segi delapan dapat dicari jika diketahui panjang sisinya $x$, yaitu $\boxed{L = 2x^2\sqrt2 + 1}$ $$\begin{aligned} \text{Luas segitiga-8} & = 2x^2\sqrt2+1 \\ & = 2\left\dfrac{12}{\cancel{1 + \sqrt2}}\right\cancel{\sqrt2+1} \\ & = 212 = 24 \end{aligned}$$ Jadi, luas segi delapan itu adalah $24$ satuan luas. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 9 $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $M$ dan $N$ terletak di tengah sisi yang saling berhadapan seperti tampak pada gambar. Jika luas segi enam ini adalah $120,$ maka hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\cdots \cdot$ A. $200$ D. $140$ B. $180$ E. $100$ C. $160$ Pembahasan segi enam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang sisinya adalah $x.$ Diketahui bahwa luas segi enam adalah $120,$ sehingga luas segitiga sama sisi adalah $\dfrac{120}{6} = 20.$ Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, diperoleh $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin \theta \\ 20 & = \dfrac12xx \sin 60^\circ \\ 20 & = \dfrac12x^2 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ x^2 & = \dfrac{80}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Panjang $MN$ sama dengan dua kalinya panjang $M$ ke $O$ titik tengah segi enam yang juga merupakan tinggi segitiga sama sisi tersebut. Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk mencarinya. $$\begin{aligned} MN & = 2MO \\ & = 2 \cdot \sqrt{x^2-\left\dfrac{x}{2}\right^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac12x\sqrt3 \\ & = x\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $AD$ jelas adalah $x + x = 2x.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} AD \cdot MN & = 2x \cdot x\sqrt3 \\ & = 2x^2\sqrt3 \\ & = 2 \cdot \dfrac{80}{\cancel{\sqrt3}} \cdot \cancel{\sqrt3} \\ & = 160. \end{aligned}$$Jadi, hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\boxed{160}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Pada gambar berikut, $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $P$ di tengah $AB$ serta $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah titik potong $PD$ dan $PE$ terhadap diagonal $CE.$ Berapakah perbandingan luas segitiga $PFR$ dan luas trapesium $EDQR$? A. $\dfrac12$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac34$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Misalkan $x$ adalah panjang sisi segi enam, titik $O$ adalah titik tengah segi enam, dan titik $S$ adalah titik tengah $ED.$ $\triangle AOB$ adalah segitiga sama sisi. Karena $P$ berada di tengah $AB,$ kita peroleh bahwa $PB = \dfrac12x$ dan $BO = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, $$\begin{aligned} PO & = \sqrt{BO^2-PB^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \dfrac12\sqrt3x. \end{aligned}$$Karena segi enam ini beraturan, maka panjang $PO$ sama dengan panjang $OS.$ Perhatikan bahwa $\triangle PRQ$ dan $\triangle PED$ sebangun karena ketiga sudutnya sama besar. Karena tinggi $\triangle PED$ dua kali lipatnya dan $ED = x,$ maka $RQ = \dfrac12x.$ Panjang $FC = x + x = 2x$ sehingga $FR = QC = \dfrac{2x-\dfrac12x}{2} = \dfrac34x.$ Luas $\triangle PFR$ sekarang dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} & = \dfrac12 FRPO \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac{3}{16}\sqrt3x \end{aligned}$$Luas trapesium $EDQR$ juga dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{EDQR} & = \dfrac{ED+RQ}{2} \cdot OS \\ & = \dfrac{x + \dfrac12x}{2} \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac38\sqrt3x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas keduanya dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} L_{EDQR} & = \dfrac{3}{16}\cancel{\sqrt3x^2} \dfrac38\cancel{\sqrt3x^2} \\ & = \dfrac{3}{16} \dfrac38 \\ & = \dfrac{3}{16}16 \dfrac3816 \\ & = 3 6 \\ & = 1 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga dan trapesium tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Pada gambar berikut, $ABCD$ adalah trapesium sama kaki, sedangkan $X$ dan $Y$ terletak tepat di tengah-tengah sisi $AD$ dan $BC.$ Jika luas daerah yang diarsir adalah $28~\text{cm}^2,$ maka berapakah luas $ABCD$? A. $30$ C. $42$ E. $56$ B. $35$ D. $48$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sehingga $XO \perp OD,$ titik $P$ sehingga $AP \perp PX,$ dan $Q$ sehingga $XQ \perp QD$ seperti tampak pada gambar. Perhatikan bahwa $\angle AXP = \angle QXD$ karena merupakan pasangan sudut yang saling berseberangan. Diketahui juga $\angle XQD = \angle APX = 90^\circ$ sehingga sudut ketiga pasti memiliki besar yang sama pula. Karena ada satu sisi yang sama panjang, yaitu $AX = XD,$ maka $\triangle APX$ dan $\triangle XQD$ kongruen sehingga $AP = QD$ dan $PX = XQ.$ Jadi, kita bisa memindahkan $\triangle APX$ ke $\triangle XQD,$ begitu juga dengan segitiga di sebelah kanan sisi trapesium. Kita peroleh bahwa luas trapesium akan sama dengan $2$ kali luas daerah yang diarsir, yakni $\boxed{28 \times 2 = 56~\text{cm}^2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Pada gambar berikut, $PQRS$ merupakan persegi dengan panjang sisi $2$ cm. Diketahui bahwa $\triangle QRM$ dan $\triangle SRN$ merupakan segitiga sama sisi. Berapakah panjang $MN$? A. $5\sqrt2$ D. $2\sqrt2$ B. $4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $3\sqrt2$ Pembahasan Tarik garis $MN$ sehingga diperoleh segitiga $MNR.$ Perhatikan bahwa $SR = RQ = 2$ sehingga $MR = RN = 2$ karena merupakan sisi dari segitiga sama sisi yang kongruen. Jika titik baru $O$ diposisikan sedemikian rupa sehingga $MRNO$ merupakan persegi, maka $MN$ adalah diagonalnya. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, panjang $MN$ sama dengan $\boxed{\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Dua setengah lingkaran semicircles digambarkan seperti berikut. Tali busur $CD$ yang panjangnya $8$ sejajar dengan diameter $AB$ dari setengah lingkaran yang besar. Tali busur tersebut menyinggung setengah lingkaran kecil. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$ A. $6\pi$ C. $10\pi$ E. $16\pi$ B. $8\pi$ D. $12\pi$ Pembahasan Misalkan titik $O$ adalah titik pusat setengah lingkaran besar. Tarik garis penghubung $OC$ dan $OD$ yang merupakan jari-jari setengah lingkaran besar seperti tampak pada gambar. Segitiga $COD$ merupakan segitiga siku-siku di $O.$ Dengan demikian, kita bisa mencari nilai $R$ panjang jari-jari setengah lingkaran besar dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OC^2 + OD^2 & = CD^2 \\ R^2 + R^2 & = 8^2 \\ 2R^2 & = 64 \\ R^2 & = 32 \end{aligned}$$Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari setengah lingkaran kecil. Luas segitiga $COD$ dapat kita tentukan dengan menggunakan prinsip kesamaan alas dan tinggi. $$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot R \cdot R & = \cancel{\dfrac12} \cdot r \cdot CD \\ 32 & = r \cdot 8 \\ r & = 4 \end{aligned}$$Luas daerah yang diarsir sama dengan selisih luas setengah lingkaran besar dan lingkaran kecil. $$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \dfrac12 \pi R^2 -\dfrac12 \pi r^2 \\ & = \dfrac12\piR^2-r^2 \\ & = \dfrac12\pi32-4^2 \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{8\pi}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 14 Gambar berikut menunjukkan juring sector lingkaran dengan satu lingkaran dalam incircle. Perbandingan panjang jari-jarinya adalah $3 1.$ Perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $2 1$ D. $5 2$ B. $3 2$ E. $5 3$ C. $4 3$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah $r$ dan juring lingkaran adalah $R = 3r.$ Titik $O$ diposisikan pada titik pusat lingkaran dalam dan $2\theta$ adalah besar sudut juring lingkaran tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku $ABO.$ Diketahui bahwa $OB = r$ dan $AO = R-r = 3r-r = 2r.$ Menurut perbandingan trigonometri sinus, kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{OB}{AO} \\ \sin \theta & = \dfrac{r}{2r} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\theta = 30^\circ.$ Dengan demikian, besar sudut juring lingkaran itu adalah $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$ Perbandingan luas juring dan lingkaran dalam dapat ditentukan. $$\begin{aligned} L_{\text{juring}} L_{\text{lingkaran dalam}} & = \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \pi 3r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac16 \pi 9r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac32 1 \\ & = 3 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\boxed{3 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 15 Pada gambar berikut, terdapat dua lingkaran dengan ukuran berbeda dan sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\cdots \cdot$ A. $6-4\sqrt2$ D. $2-\sqrt2$ B. $6+4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $4-2\sqrt2$ Pembahasan Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran kecil. Buat segitiga $OAB$ yang siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r.$ Karena perseginya memiliki panjang sisi $2,$ maka kita peroleh $OA = AB = 2-r$ dan $OB = 2 + r.$ Sekarang kita gunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB$ untuk mencari nilai $r.$ $$\begin{aligned} OA^2 + AB^2 & = OB^2 \\ 2-r^2 + 2-r^2 & = 2+r^2 \\ 24-4r+r^2 & = 4+4r+r^2 \\ r^2-12r+4 & = 0 \\ r-6^2-32 & = 0 \\ r-6^2 & = 32 \\ r-6 & = \pm 4\sqrt2 \\ r & = 6 \pm 4\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $r = 6 + 4\sqrt2$ nilainya lebih dari $2$ sehingga tidak mungkin menjadi pilihan, maka kita ambil $r = 6-4\sqrt2.$ Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\boxed{6-4\sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Pada gambar berikut, $XY$ merupakan diameter dari lingkatan kecil dan $S$ merupakan titik yang terletak pada lingkaran kecil sekaligus merupakan titik pusat lingkaran besar. Jika panjang jari-jari lingkaran besar adalah $2$ satuan, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas. A. $2$ C. $6$ E. $10$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran kecil. Perhatikan bahwa $OY$ dan $OS$ merupakan jari-jari lingkaran kecil sehingga haruslah $OY = OS = r.$ $SY$ sendiri merupakan jari-jari lingkaran besar sehingga $R = SY = 2.$ Pada $\triangle YOS$ siku-siku di $O$, kita peroleh $r^2$ dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OY^2 + OS^2 & = SY^2 \\ r^2 + r^2 & = 2^2 \\ 2r^2 & = 4 \\ r^2 & = 2 \\ r & = \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r = \sqrt2.$ Perhatikan bahwa $SY = SX = 2$ dan $XY = 2\sqrt2$ sehingga rumus Pythagoras terpenuhi. Jadi, $\triangle SXY$ merupakan segitiga siku-siku di $S.$ Selanjutnya, cari tembereng lingkaran besar yang dibatasi oleh $XY$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} L_{\text{tembereng}} &= L_{\text{juring}}-L_{\triangle SXY} \\ & = \dfrac14 \pi R^2-\dfrac12SYSX \\ & = \dfrac14 \pi 2^2-\dfrac1222 \\ & = \pi-2 \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran kecil putih adalah $L_{\frac12 O} = \dfrac12\pi r^2 = \dfrac12 \pi 2 = \pi.$ Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran kecil dikurangi jumlahan luas tembereng dan luas setengah lingkaran kecil. $$L = \pi2-\pi-2+\pi = 2$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2}$ satuan luas. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras Soal Nomor 17 Pada gambar berikut, persegi panjang dengan panjang sisi $12$ cm memuat $6$ lingkaran kongruen yang diposisikan membentuk formasi segitiga sama sisi dan menyinggung sisi persegi panjang. Berapakah jarak terpendek antara dua lingkaran yang diberi arsir dalam satuan cm? A. $43\sqrt3-2$ B. $43\sqrt3-1$ C. $4\sqrt3-2$ D. $4\sqrt3-1$ E. $4\sqrt3-2$ Pembahasan Buatlah segitiga sama sisi yang melalui titik pusat keenam lingkaran seperti tampak pada gambar. Panjang jari-jari lingkaran adalah $12 \div 3 = 4$ cm. Panjang sisi segitiga tersebut adalah $4+4=8$ cm. Selanjutnya, cari tinggi segitiga $OA$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB.$ $$\begin{aligned} OA & = \sqrt{AB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{8^2-4^2} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jarak terpendek kedua lingkaran yang diarsir sama dengan tinggi segitiga tersebut dikurangi dua kali panjang jari-jari lingkaran. $$\begin{aligned} \text{Jarak} & = OA-2r \\ & = 4\sqrt3-4 \\ & = 4\sqrt3-1~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak yang dimaksud sejauh $\boxed{4\sqrt3-1~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 18 Diberikan sebuah segitiga $\triangle ABC.$ Titik $D$ pada $AC$ sehingga $AD AC = 2 3.$ Titik $E$ pada $AB$ sehingga $AE EB = 1 2.$ Titik $F$ merupakan titik potong ruas garis $CE$ dan $BD.$ Jika diketahui luas $\triangle BFC$ adalah $12$ satuan luas, maka luas $\triangle ABC$ adalah $\cdots$ satuan luas. A. $24$ C. $40$ E. $48$ B. $36$ D. $42$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Dari perbandingan yang diberikan, kita dapat misalkan $CD = x$ sehingga $AD = 2x$ dan $AE = y$ sehingga $BE = 2y.$ Karena $\triangle AFE$ dan $\triangle BFE$ dapat dipandang sebagai dua segitiga dengan tinggi yang sama, tetapi alasnya berkelipatan, maka dapat kita misalkan luas $\triangle AFE = b$ sehingga luas $\triangle BFE = 2b.$ Prinsip serupa juga berlaku untuk luas $\triangle CFD = a$ sehingga luas $\triangle AFD = 2a.$ Dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $BD,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+12}{2a+b+2b} & = \dfrac12 \\ 2a+24 & = 2a+3b \\ 3b & = 24 \\ b & = 8. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $CE,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+2a+b}{2b+12} & = \dfrac12 \\ 6a+2b & = 2b+12 \\ 6a & = 12\\ a & = 2. \end{aligned}$$Luas $\triangle ABC$ sama dengan $$\begin{aligned} 12+a+2a+b+2b & = 12+3a+b \\ & = 12+32+8 \\ & = 42~\text{satuan luas}. \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 19 Pada segitiga $ABC,$ titik $D$ membagi sisi $AC$ sehingga $AD DC = 1 2.$ Misalkan $E$ adalah titik tengah $BD$ dan $F$ adalah titik potong garis $BC$ dan perpanjangan garis $AE.$ Jika luas segitiga $ABC$ adalah $720,$ maka luas segitiga $EBF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $180$ C. $80$ E. $40$ B. $120$ D. $60$ Pembahasan Diketahui $L_{\triangle ABC} = 720.$ Karena $D$ pada $AC$ sehingga $AD DC = 1 2,$ maka $$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac{1}{3} \cdot L_{\triangle ABC} = \dfrac13720 = 240 \\ L_{\triangle CBD} & = 720-240 = 480. \end{aligned}$$Selanjutnya perhatikan $\triangle CBD.$ Karena $E$ berada di tengah $BD,$ maka $BE = ED$ yang berakibat $CE$ membelah $\triangle CBD$ menjadi dua bagian yang sama luasnya, yaitu $\dfrac12480 = 240.$ Jika $L_{\triangle EBF} = x,$ maka $L_{\triangle ECF} = 240-x.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas. Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga dengan satu cevian yang sama, yaitu $EF,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle EBF}}{L_{\triangle ABF}} & = \dfrac{L_{\triangle ECF}}{L_{\triangle ACF}} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{120+240+240-x} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{600-x} \\ x600-x & = 120+x240-x \\ -x^2+600x & = \\ 480x & = \\ x & = 60. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $EBF$ adalah $\boxed{60}$ Catatan Cevian adalah ruas garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi segitiga di hadapannya. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 20 Pada gambar di bawah, beberapa garis sejajar dibuat sehingga membagi dua sisi segitiga menjadi 10 ruas yang sama panjangnya. Berapakah persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga? A. $41,75\%$ D. $46\%$ B. $42,5\%$ E. $48\%$ C. $45\%$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Misalkan luas $\triangle ABC = 1.$ Karena ketiga sudut pada $\triangle ADE$ bersesuaian dengan sudut pada $\triangle ABC,$ maka kedua segitiga ini sebangun. Panjang alas dan tinggi $\triangle ADE$ dua kali lipatnya dari $\triangle ABC$ sehingga luas $\triangle ADE = 22 = 4.$ Jika prinsip ini dilanjutkan, kita peroleh luas segitiga berikutnya adalah $9, 16, 25, 36, \cdots, 100.$ Persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} \text{Persentase Luas} & = \dfrac{1 + 9-4 + 25-16 + 36-25 + 64-49 +100-81}{100} \times 100\% \\ & = 1 + 5 + 9 + 11 + 17\% \\ & = 45\% \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diberikan suatu persegi panjang dengan lebar $4.$ Di dalamnya terdapat satu lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang kongruen. Setiap lingkaran saling bersinggungan satu sama lain dan menyinggung sisi-sisi persegi panjang. Panjang persegi panjang tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $6$ D. $4\sqrt3$ B. $3\sqrt2$ E. $6\sqrt2$ C. $4\sqrt2$ Pembahasan Misalkan $O$ dan $P$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran besar dan kecil, sedangkan $Q$ adalah titik singgung kedua lingkaran kecil. Karena lebar persegi panjang $4,$ maka diameter lingkaran besar juga $4$ sehingga jari-jarinya memiliki panjang $2,$ sedangkan lingkaran kecil memiliki panjang jari-jari $1.$ Kita peroleh $AP = 2+1 = 3$ dan $PQ = 1$ sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat $$\begin{aligned} OQ & = \sqrt{OP^2-PQ^2} \\ & = \sqrt{3^2-1^2} \\ & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang persegi panjang adalah $$\begin{aligned} AB & = AO + OQ + QB \\ & = 2 + 2\sqrt2 + 1 \\ & = 3 + 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Sejumlah lingkaran diposisikan sedemikian rupa sehingga titik pusatnya merupakan titik sudut suatu persegi. Ada dua lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang masing-masing kongruen seperti tampak pada gambar. Berapakah rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil? A. $1$ D. $2$ B. $\sqrt2$ E. $2,5$ C. $1 + \sqrt2$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah $y$ dan $x.$ Buat segitiga siku-siku yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran seperti tampak pada gambar. Segitiga siku-siku ini memiliki panjang sisi $x + y, x + y,$ dan $y + y = 2y.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita peroleh $$\begin{aligned} x + y^2 + x + y^2 & = 2y^2 \\ 2x + y^2 & = 22y^2 \\ x + y^2 & = 2y^2 \\ x + y & = \pm y\sqrt2. \end{aligned}$$Karena $x + y$ menyatakan jumlah panjang jari-jari lingkaran yan g nilainya jelas tidak mungkin negatif, maka ambil $x + y = y\sqrt2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} y\sqrt2-y & = x \\ y\sqrt2-1 & = x \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \cdot \dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} \\ \dfrac{y}{x} & = \sqrt2+1. \end{aligned}$$Jadi, rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil adalah $\boxed{1+\sqrt2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi sembilan persegi panjang kecil. Bilangan di dalamnya menunjukkan keliling masing-masing persegi panjang. Keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $46$ E. $92$ B. $24$ D. $48$ Pembahasan Misalkan panjang setiap sisi persegi panjang kecil disimbolkan dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ seperti gambar di bawah. Dari sini, kita tahu bahwa $$\begin{cases} 2b + d & = 11 && \cdots 1 \\ 2a + e & = 20 && \cdots 2 \\ 2b + e & = 8 && \cdots 3 \\ 2c +e & = 11 && \cdots 4 \\ 2b+f & = 12 && \cdots 5 \end{cases}$$Jumlahkan persamaan $4$ dan $5$, kemudian gunakan persamaan $3$ untuk memperoleh $$\begin{aligned} 2b + e + c + f & = 23 \\ \color{red}{2b + e} + 2c + f & = 23 \\ 8 + 2c + f & = 23 \\ 2c + f & = 15.\end{aligned}$$Keliling persegi panjang $ABCD$ dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} k_{ABCD} & = 2a + b + c + d + e + f \\ & = 2b + d + 2a + e + 2c + f \\ & = 11 + 20 + 15 \\ & = 46 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{46}$ Jawaban C [collapse] Garis Bagi Soal Nomor 1 Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B.$ Garis $CD$ merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut $C.$ Jika panjang $AB = BC = 6$ cm, maka panjang $AD = \cdots$ cm. A. $6-3\sqrt2$ B. $6+3\sqrt2$ C. $12-6\sqrt2$ D. $12+6\sqrt2$ E. $18+6\sqrt2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Karena $\triangle ABC$ siku-siku, maka rumus Pythagoras berlaku. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{6^2+6^2} \\ & = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$$Misalkan panjang $AD = x$ cm sehingga berakibat $DB = 6-x$ cm. Dengan menggunakan teorema perbandingan oleh garis bagi, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{AC}{BC} \\ \dfrac{x}{6-x} & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}} \\ x & = 6\sqrt2-\sqrt2x \\ 1+\sqrt2x & = 6\sqrt2 \\ x & = \dfrac{6\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ x & = \dfrac{6\sqrt21-\sqrt2}{-1} \\ x & = \sqrt2-16\sqrt2 \\ x & = 12-6\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{12-6\sqrt2~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ dengan sudut siku-siku di $C.$ $D$ adalah titik pada $BC$ sehingga $AD$ adalah garis bagi. Perbandingan luas $\triangle ABD$ dan $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ B. $\sqrt2+1$ C. $\sqrt2-1$ D. $2\sqrt2-1$ E. $2-\sqrt2$ Pembahasan Karena $\triangle ABC$ sama kaki, maka $AC = BC = x.$ Teorema Pythagoras juga berlaku karena segitiga tersebut siku-siku. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2+BC^2} \\ & = \sqrt{x^2+x^2} \\ & = x\sqrt2 \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku bahwa $$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{x}{x\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}.$$Oleh karena itu, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABD}}{L_{\triangle ABC}} & = \dfrac{\cancel{\frac12} \cdot DB \cdot \bcancel{AC}}{\cancel{\frac12} \cdot BC \cdot \bcancel{AC}} \\ & = \dfrac{DB}{BC} \\ & = \dfrac{DB}{CD + DB} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ & = -\sqrt21-\sqrt2 \\ & = 2-\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan kedua segitiga tersebut adalah $\boxed{2-\sqrt2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 3 Pada gambar berikut, $\angle ABC$ dan $\angle ECD$ siku-siku serta $AD$ adalah garis bagi $\angle CAB.$ Jika panjang $AB$ adalah $21$ dan $CD$ adalah $28,$ maka berapakah panjang $BE$? A. $\sqrt7$ D. $15$ B. $3\sqrt7$ E. $21$ C. $7$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi sehingga $\angle BAE = \angle CAD.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle DCE$ sebangun berdasarkan kesamaan ketiga sudutnya. Oleh karena itu, berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac34.$ Misalkan $BE = 3x$ dan $EC = 4x.$ Segitiga $ABC$ siku-siku sehingga rumus Pythagoras berlaku untuk mencari panjang $AC.$ $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{21^2+7x^2} \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AC}{CE} & = \dfrac{AB}{BE} \\ \dfrac{\sqrt{21^2 + 7x^2}}{4x} & = \dfrac{21}{3x} \\ \sqrt{21^2 + 7x^2} & = 74 \\ \sqrt{3^2 + x^2} & = 4 \\ 9 + x^2 & = 16 \\ x & = \sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE$ adalah $\boxed{3x = 3\sqrt7}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-sikunya di $B.$ Jika $AD$ adalah garis bagi pada sudut $A$ dan membagi $BC$ menjadi dua bagian sedemikian sehingga $BD = 2$ dan $CD = 3,$ maka panjang $AD = \cdots \cdot$ A. $2\sqrt3$ D. $4\sqrt2$ B. $2\sqrt5$ E. $4\sqrt3$ C. $2\sqrt6$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi pada sudut $A$ sehingga $\angle BAD = \angle DAC.$ Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac23.$$Misalkan $AB = 2x$ dan $AC = 3x$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}^+.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ 3x^2 & = 2x^2 + 2+3^2 \\ 9x^2 & = 4x^2 + 25 \\ 5x^2 & = 25 \\ x^2 & = 5 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $\triangle ABD$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AD^2 & = AB^2 + BD^2 \\ & = 2x^2 + 2^2 \\ & = 4x^2 + 4 \\ & = 45 + 4 \\ & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Pada segitiga $ABC,$ $ED$ adalah garis bagi $\angle BDA$ dan $DF$ adalah garis bagi $\angle ADC.$ Jika $AE = 3,$ $BE = 7,$ $BD = 3DC,$ dan $AC = 32,$ maka panjang $FC = \cdots \cdot$ A. $16$ D. $11$ B. $14$ E. $10$ C. $12$ Pembahasan Misalkan $DC = x$ sehingga $BD = 3x.$ Misalkan juga $FC = y$ sehingga $AC = 32-y.$ Pada $\triangle ABD,$ $ED$ merupakan garis bagi $\angle BDA$ sehingga berlaku teorema perbandingan oleh garis bagi berikut. $$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EA} & = \dfrac{BD}{DA} \\ \dfrac73 & = \dfrac{3x}{DA} \\ DA & = \dfrac{9x}{7} \end{aligned}$$Hal yang sama juga berlaku pada $\triangle ADC$ oleh garis bagi $DF.$ $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FC} & = \dfrac{DA}{DC} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac{\frac{9x}{7}}{x} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac97 \\ 9y & = 327-7y \\ 16y & = 327 \\ y & = 27 = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang $FC$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban B [collapse]
Persamaangaris b seperti tampak pada gambar adalah · · · · A. 2 y = x-1 B. 2 y =-x-1 C. 2 y = x + 1 D. 2 y =-x + 1 24. Diketahui titik A (4, 10), B (-1, p), dan C (2, 2) terletak pada satu garis lurus. Nilai p adalah · · · · A.-10 B.-5 C. 5 D. 10 25. Empat di antara lima titik (2, 4), (4, 7), (7, 10), (10, 16), dan (16, 25) membentuk
Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester. Soal dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 242 KB. Quote by Charles R. Swindoll Hidup adalah 10% hal yang terjadi pada kita dan 90% bagaimana kita meresponnya. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Gradien garis $PQ$ berdasarkan gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $\dfrac12$ B. $-\dfrac12$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $P$ ke $Q$ Turun - sejauh 3 petak, lalu belok kanan + sejauh 6 petak. Gradien garis $PQ$ adalah $\boxed{m = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan gambar garis $l$ berikut. Gradien garis $l$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $\dfrac14$ B. $-\dfrac14$ D. $4$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik yang ditandai dengan noktah hitam lihat gambar di atas Turun - sejauh 1 petak, lalu belok kanan + sejauh $4$ petak. Gradien garis $l$ adalah $\boxed{m_l = – \dfrac{1}{4}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Gradien garis $k$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac23$ C. $\dfrac32$ B. $-\dfrac32$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Garis $k$ memotong sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut di $-3,0$ dan $0,-2$. Karena melalui kedua titik tersebut, maka gradien $k$ dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat titiknya. Dari $-3, 0$ bergerak ke $0,-2$ Turun - sejauh $2$ satuan, lalu belok ke kanan + sejauh $3$ satuan. Dengan demikian, gradien garis $k$ adalah $\boxed{m_k = -\dfrac23}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Gradien garis yang tegak lurus terhadap garis $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac32$ C. $\dfrac23$ B. $-\dfrac23$ D. $\dfrac32$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $A$ ke $B$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kanan + sejauh $6$ petak. Gradien garis $a$ adalah $m_a = – \dfrac{4}{6} = -\dfrac23$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis $a$ adalah $m = -\dfrac{1}{m_a} = \dfrac{3}{2}$ Secara verbal dinegatifkan lalu dibalik Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. Gradien garis $c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $\dfrac12$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Gradien garis $k$ dapat ditentukan karena melalui $2$ titik yang koordinatnya telah diketahui, tidak seperti garis $c$. Bergerak dari titik $0,4$ ke $-2,0$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kiri - sejauh $2$ petak. Gradien garis $k$ adalah $m_k = \dfrac{-4}{-2} = 2$ Karena garis $k$ dan $c$ sejajar, maka gradiennya sama. Dengan demikian, gradien garis $c$ adalah $\boxed{m_c = 2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Gradien garis dengan persamaan $5x-4y-20=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac54$ C. $-\dfrac45$ B. $\dfrac45$ D. $-\dfrac54$ Pembahasan Gradien garis $5x-4y-20 = 0$ adalah $m = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac54$ Jadi, gradien garis tersebut adalah $\boxed{m = \dfrac54}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 7 Di antara persamaan garis berikut 1 $2y=8x+20$ 2 $6y=12x+18$ 3 $3y=12x+15$ 4 $3y=-6x+15$ yang grafiknya saling sejajar adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ dan $2$ C. $2$ dan $4$ B. $1$ dan $3$ D. $3$ dan $4$ Pembahasan Dalam bentuk $y = mx + c$, $m$ merupakan gradien garisnya. Untuk itu, ubah semua bentuk persamaan garisnya seperti itu. 1 $2y = 8x + 20$ Bagi kedua ruas dengan $2$ sehingga diperoleh $y = 4x + 10$. Gradien garisnya adalah $\color{red} {m_1 = 4}.$ 2 $6y = 12x + 18$ Bagi kedua ruas dengan $6$ sehingga diperoleh $y = 2x + 3$. Gradien garisnya adalah $m_2 = 2.$ 3 $3y = 12x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = 4x + 5$. Gradien garisnya adalah $\color{red}{m_3 = 4}.$ 4 $3y = -6x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = -2x + 5$. Gradien garisnya adalah $m_4 = -2.$ Dua garis saling sejajar apabila gradiennya sama. Dengan demikian, garis yang saling sejajar adalah $2y = 8x +20$ dan $3y = 12x + 15$ nomor 1 dan 3. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Garis $h$ melalui titik $A-2,3$ dan $B2,p$ serta memiliki nilai kemiringan $\dfrac12$. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $-1$ B. $1$ D. $-5$ Pembahasan Berdasarkan konsep gradien, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{y_B -y_A} {x_B -x_A} & = m \\ \dfrac{p -3}{2 -2} & = \dfrac12 \\ \dfrac{p-3}{\cancel{4}} & = \dfrac{2}{\cancel{4}} \\ p -3 & = 2 \\ p & = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y-4=0$ B. $2x-y+4=0$ C. $2x+y+4=0$ D. $x-y-4=0$ Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan bergradien $m$ adalah $y -y_1 = mx -x_1$ Untuk itu, persamaan garis yang melalui titik $-3, -2$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -2 & = 2x -3 \\ y + 2 & = 2x + 6 \\ y – 2x + 2 -6 & = 0 \\ y -2x -4 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas} ~&\text{dengan}~-1 \\ 2x -y + 4 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\boxed{2x -y + 4 = 0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y+4x+2=0$ B. $3y-4x-2=0$ C. $4y-3x-26=0$ D. $4y-3x+26=0$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4y -3x = -4$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac34$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = \dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan bergradien $\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -5 & = \dfrac34x -2 \\ 4y+5 & = 3x-2 \\ 4y + 20 & = 3x -6 \\ 4y- 3x + 26 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $4y -3x = c$. Substitusikan $x = 2$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} 4-5 -32 & = c \\ -20 -6 & = c \\ c & = -26 \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $4y-3x=-26$ atau ditulis menjadi $4y -3x + 26 = 0$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\boxed{4y-3x+26=0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2y-3x=-23$ B. $2y+3x=-6$ C. $3y-2x=2$ D. $3y+2x=-7$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $y = -\dfrac23x + 6$ adalah $m_1 = = -\dfrac23$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = -\dfrac23$. Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan bergradien $-\dfrac23$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – -5 & = -\dfrac23x -4 \\ 3y+5 & = -2x-4 \\ 3y + 15 & = -2x + 8 \\ 3y + 2x = & = -7 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $y = -\dfrac23x + c$. Substitusikan $x = 4$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} -5 & = -\dfrac234 + c \\ -5 & = -\dfrac83 + c \\ c & = -5 + \dfrac83 = -\dfrac{7}{3} \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $y = -\dfrac23x -\dfrac73$. Kalikan kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $3y = -2x -7 \Leftrightarrow 3y + 2x = -7.$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\boxed{3y+2x=-7}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y=34$ B. $3x+4y=-22$ C. $4x+3y=-13$ D. $4x-3y=21$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4x-3y+8=0$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{4}{-3} = \dfrac43$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan bergradien $-\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – -7 & = -\dfrac34x -2 \\ 4y+7 & = -3x-2 \\ 4y + 28 & = -3x + 6 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x – 3y + 8 = 0$ adalah $\begin{aligned} -3x -4y & = -32 -4-7 \\ -3x -4y & = 22 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\boxed{3x + 4y = -22}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=2x+5$ B. $y=-2x+5$ C. $y=2x-5$ D. $y=\dfrac12x-5$ Pembahasan Cara 1 Persamaan $2y = -x +1$ bila kedua ruasnya dibagi 2 menjadi $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ Gradien garis $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ adalah $m_1 = -\dfrac12$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = 2$. Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -1 & = 2x -2 \\ y – 1 & = 2x + 4 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis $x + 2y= 1$ adalah $\begin{aligned} 2x -y & = 2-2 -11 \\ 2x -y & = -5 \\ -y & = -2x -5 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Jadi, Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\boxed{y = 2x + 5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $7y=2x-11$ B. $7y=2x+11$ C. $2y=7x-11$ D. $2y=7x+11$ Pembahasan Cara 1 Normal Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan $x_2, y_2$ adalah $\dfrac{y -y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x – x_1}{x_2-x_1}$ Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -1}{3 -1} & = \dfrac{x – -2}{5 -2} \\ \dfrac{y-1}{2} & = \dfrac{x+2}{7} \\ 7y-1 & = 2x+2 \\ 7y-7 & = 2x+4 \\ 7y & = 2x + 11 \end{aligned}$ Cara 2 Kece Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Baca Juga Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Soal Nomor 15 Sisi persegi $ABCD$ sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik $A1,-2$ dan $C5,1$ adalah titik sudut yang saling berhadapan. Persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+4y+7=0$ B. $3x+4y-7=0$ C. $3x-4y+7=0$ D. $4x-3y+7=0$ Pembahasan Posisikan titik $A1,-2$ dan $C5,1$ dalam sistem koordinat Kartesius. Agar $ABCD$ membentuk sebuah persegi panjang, titik $B$ dan $D$ mesti berkoordinat $5, -2$ dan $1, 1$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{1-2} & = \dfrac{x-5}{1-5} \\ \dfrac{y+2}{3} & = \dfrac{x-5}{-4} \\ -4y+2 & = 3x-5 \\ -4y-8 & = 3x-15 \\ 3x+4y-7 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\boxed{3x+4y-7=0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 16 Garis $k$ memotong sumbu-$Y$ di titik $a+3, a-7$. Jika garis $k$ juga melalui titik $8,6$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y=-10$ B. $2x-y=-10$ C. $2x-y=10$ D. $2x+y=10$ Pembahasan Karena $k$ memotong sumbu-$Y$, maka absis koordinatnya harus bernilai $0$, yaitu $a+3 = 0$ sehingga $a=-3$. Ini berarti, garis $k$ memotong sumbu tersebut di titik $0, -10$. Persamaan garis yang melalui dua titik, yaitu $0,-10$ dan $8,6$ dapat ditentukan dengan sejumlah cara. Cara 1 Manual Dengan menggunakan rumus $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{y -10} {6-10} & = \dfrac{x -0}{8-0} \\ \dfrac{y+10}{\cancelto{2}{16}} & = \dfrac{x} {\cancel{8}} \\ y+10 & = 2x \\ 2x -y & = 10 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{2x-y=10}$ Cara 2 Kece Perhatikan penggunaan metode skematik berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 17 Perhatikan grafik berikut. Persamaan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y-6=0$ B. $3x+2y+6=0$ C. $2x+3y-6=0$ D. $2x+3y+6=0$ Pembahasan Cara 1 Normal Garis $g$ melalui titik $0,3$ dan $2,0$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -y_1}{y_2 -y_1} & = \dfrac{x -x_1}{x_2 -x_1} \\ \dfrac{y -3}{0 -3} & = \dfrac{x -0}{2 -0} \\ \dfrac{y-3}{-3} & = \dfrac{x}{2} \\ 2y-3 & = -3x \\ 2y -6 & = -3x \\ 3x + 2y -6 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Kilat Cara ini dipakai apabila titik potong garis terhadap kedua sumbu koordinat diketahui. Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Soal Nomor 18 Grafik garis dengan persamaan $y=\dfrac12x-2$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $y = \dfrac12x -2.$ Titik potong garis terhadap sumbu koordinat harus ditentukan dulu. Titik potong terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0.$ $0 = \dfrac12x -2 \Leftrightarrow 2 = \dfrac12x \Leftrightarrow x = 4.$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $4, 0$. Titik potong terhadap sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0.$ $y = \dfrac120 -2 \Leftrightarrow y = -2$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $0, -2.$ Gambarkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan kedua titik itu sehingga membentuk garis lurus. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 19 Grafik garis dengan persamaan $4x-y-1=0$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $4x-y-1 = 0$. Berdasarkan alternatif jawaban yang diberikan, kita harus memeriksa nilai $y$ saat $x$ bernilai $-1, 0$, dan $1$. Untuk $x = -1$, kita peroleh $\begin{aligned} 4-1 -y -1 & = 0 \\ -5 -y & = 0 \\ y & = -5 \end{aligned}$ Garis melalui titik $-1, -5$. Untuk $x = 0$, kita peroleh $\begin{aligned} 40 -y -1 & = 0 \\ -y -1& = 0 \\ y & = -1 \end{aligned}$ Garis melalui titik $0, -1$. Untuk $x = 1$, kita peroleh $\begin{aligned} 41 -y -1 & = 0 \\ 3 -y & = 0 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Garis melalui titik $1, 3$. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Grafik garis $k$ tegak lurus dengan garis $m$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $2, 0$. Jika gradien garis $m$ adalah $2$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y-2x=-4$ B. $x+2y=1$ C. $x+2y=2$ D. $2y-x=-2$ Pembahasan Gradien garis $m$ adalah $m_m = 2$. Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_m} = -\dfrac{1}{2}$ Persamaan garis yang melalui titik $2, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -0 & = -\dfrac12x -2 \\ 2y & = -x + 2 \\ x + 2y & = 2 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{x + 2y = 2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui $P-3,-5$ dan $R-2,-8$. Persamaan garis yang melalui $-2,4$ dan tegak lurus garis $PR$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y-x-14=0$ B. $3y-x+14=0$ C. $y-3x+10=0$ D. $y-3x-10=0$ Pembahasan Gradien garis $PR$ di mana $P-3,-5$ dan $R-2,-8$ adalah $m_{PR} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} = \dfrac{-8 -5}{-2 -3} = \dfrac{-3}{1} = -3$ Karena garis yang dimaksud tegak lurus dengan garis $PR$, maka gradien garisnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_{PR}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$ Persamaan garis yang melalui titik $-2, 4$ dan bergradien $\dfrac13$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -4 & = \dfrac13x -2 \\ 3y -4 & = x + 2 \\ 3y -12 & = x + 2 \\ 3y -x -14 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garisnya adalah $\boxed{3y-x-14=0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Perhatikan garis $g$ pada bidang koordinat Kartesius berikut. Garis $k$ tegak lurus garis $g$ dan saling berpotongan di titik $0, -20$. Koordinat titik potong garis $k$ dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8, 0$ C. $16, 0$ B. $12, 0$ D. $20, 0$ Pembahasan Gradien garis $g$ adalah $m_g = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac45.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac54$ Persamaan garis yang melalui titik $0, -20$ dan bergradien $m = \dfrac54$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -20 & = \dfrac54x -0 \\ 4y + 20 & = 5x \\ 4y + 80 & = 5x \end{aligned}$ Titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$, berarti kita tulis $40 + 80 = 5x \Leftrightarrow x = \dfrac{80}{5} = 16.$ Jadi, titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\boxed{16, 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persamaan garis $b$ seperti tampak pada gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $2y=x-1$ B. $2y=-x-1$ C. $2y=x+1$ D. $2y=-x+1$ Pembahasan Gradien garis $a$ adalah $m_a = \dfrac{-2}{-1} = 2.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $b$ adalah $m_b = -\dfrac{1}{m_a} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac12.$ Perhatikanlah bahwa garis $b$ melalui titik $-1, 0.$ Persamaan garis yang melalui titik $-1, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – 0 & = -\dfrac12x -1 \\ 2y & = -x – 1 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $b$ adalah $\boxed{2y = -x-1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui titik $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$ terletak pada satu garis lurus. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $5$ B. $-5$ D. $10$ Pembahasan Diketahui $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$. Karena ketiga titik itu terletak pada satu garis lurus, maka gradien $AB$ haruslah sama dengan gradien $BC$. Kita tuliskan $\begin{aligned} m_{AB} & = m_{BC} \\ \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\ \dfrac{p-10}{-1-4} & = \dfrac{2-p}{2-1} \\ \dfrac{p-10}{-5} & = \dfrac{2-p}{3} \\ 3p-10 & = -52-p \\ 3p-30 & = -10+5p \\ 3p-5p & = -10+30 \\ -2p & = 20 \\ p & = -10 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{p=-10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 25 Empat di antara lima titik $2, 4$, $4, 7$, $7, 10$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk sebuah garis lurus. Manakah yang tidak termasuk? A. $2, 4$ D. $10, 16$ B. $4, 7$ E. $16, 25$ C. $7, 10$ Pembahasan Agar titik-titik terletak pada satu garis lurus, maka gradien garis yang terbentuk harus sama. Perhatikan bahwa pada titik $2, 4$, $4, 7$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk garis lurus dengan gradien masing-masing $\dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{16-7}{10-4} = \dfrac{25-16}{16-10} = \dfrac32.$ Perhatikan juga bahwa, $\dfrac{10-7}{7-4} = 1 \neq \dfrac32.$ Jadi, titik yang tidak segaris adalah $\boxed{7, 10}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 26 Jika $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ merupakan persamaan garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, maka akan dipenuhi $\cdots \cdot$ A. $a_1b_1-a_2b_2=0$ B. $a_1a_2-b_1b_2=0$ C. $a_1b_1+a_2b_2=0$ D. $a_1a_2+b_1b_2=0$ E. $a_1b_2+a_2b_1=0$ Pembahasan Persamaan garis $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\dfrac{a}{b}$. Oleh karena persamaan $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ tegak lurus, maka berlaku $\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ -\dfrac{a_1}{b} & = -\dfrac{1}{-\dfrac{a_2}{b_2}} \\ \dfrac{a_1}{b_1} & = -\dfrac{b_2}{a_2} \\ a_1a_2 & = -b_1b_2 \\ a_1a_2+b_1+b_2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{a_1a_2+b_1+b_2 = 0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 27 Jika garis yang menghubungkan titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$, maka $t = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $12\dfrac14$ E. $24\dfrac12$ B. $-\dfrac43$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} x_1, y_1 & = -1, 1 \\ x_2, y_2 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_3, y_3 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_4, y_4 & = 7, t \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ adalah $\begin{aligned} m_1 & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \dfrac{\dfrac12-1}{1-1} = \dfrac{-\dfrac12}{2} = -\dfrac14 \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$ adalah $\begin{aligned} m_2 & = \dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3} \\ & = \dfrac{t-\dfrac12}{7-1} = \dfrac{t-\dfrac12}{6} \color{red}{\times \dfrac22} = \dfrac{2t-1}{12} \end{aligned}$ Karena kedua garis yang menghubungkan titik-titik tersebut saling tegak lurus, maka berlaku hubungan gradien $m_1 = -\dfrac{1}{m_2}$. Untuk itu, kita peroleh $\begin{aligned} -\dfrac14 & = -\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{12}} \\ \dfrac14 & = \dfrac{12}{2t-1} \\ 2t-1 & = 48 \\ 2t & = 49 \\ t & = \dfrac{49}{2} = 24\dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{t = 24\dfrac12}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik tarif taksi berikut. Jika Rudi naik taksi sejauh $19~\text{km}$, berapa harga yang harus ia bayar? A. C. B. D. Pembahasan Berdasarkan grafik di atas, gradien garisnya adalah $m = \dfrac{22 -14}{4 -2} = \dfrac{8}{2} = 4$ Misalkan harga yang harus dibayar untuk jarak tempuh 19 km adalah $x$ ribu rupiah, maka $\begin{aligned} m = \dfrac{x -14}{19 -2} & = 4 \\ \dfrac{x-14}{17} & = 4 \\ x- 14 & = 68 \\ x & = 82 \end{aligned}$ Jadi, harga yang harus dibayar Rudi sebesar Jawaban B [collapse] Soal Nomor 29 Banyak tenaga kerja laki-laki berusia lebih dari $20$ tahun yang bekerja di suatu kota bertambah secara linear. Jika digambarkan, grafik pertambahan tenaga kerja laki-laki dapat direpresentasikan oleh garis lurus berikut. Pada tahun $1980$, sekitar $600$ laki-laki berusia di atas 20 tahun yang bekerja. Pada tahun $2000$, jumlah ini meningkat menjadi $800$. Berapa banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$? A. $ orang C. $ orang B. $ orang D. $950$ orang Pembahasan Gradien garis lurus pada grafik di atas dapat dihitung dengan cara berikut. $m = \dfrac{800-600}{2000-1980} = \dfrac{200}{20} = 10$ Misalkan ada sebanyak $x$ orang pada tahun $2015$ sehingga dengan menggunakan konsep gradien, diperoleh $m = \dfrac{x -800}{2015-2000}$ Karena garis lurus yang ditinjau sama, maka gradiennya juga pasti sama. $\begin{aligned} 10 & = \dfrac{x -800}{15} \\ 150 & = x -800 \\ x & = 950 \end{aligned}$ Jadi, banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$ adalah $\boxed{950~\text{orang}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Membuat Garis Bergerak Mengikuti Dua Titik pada Aplikasi Geogebra Soal Nomor 30 Pada suatu hari, dua pemuda mengunjungi sebuah kafe. Setelah memesan minuman, mereka masing-masing diberikan kertas yang bertuliskan username dan password untuk mengaktifkan koneksi WiFi kafe tersebut. Salah satu dari mereka menemukan kertas lain seperti itu tercecer di lantai. Ia pun kemudian menjajarkan kertas tersebut seperti berikut. Setelah diperhatikan dengan seksama, mereka menduga bahwa ada hubungan username dengan password di sampingnya. Perhatikan bahwa dua karakter pertama pada username selalu bertuliskan “on“, diikuti dengan bilangan puluhan ganjil. Berdasarkan pola hubungan itu, password yang sesuai untuk username on75 adalah $\cdots \cdot$ A. $682$ C. $702$ B. $692$ D. $712$ Pembahasan Dugaan kita adalah bahwa penambahan bilangan di username memengaruhi penambahan bilangan di bagian password secara linear membentuk garis lurus. Katakanlah terdapat titik $15, 552$ dan $19, 562$. Gradien garis yang ditarik dari dua titik ini adalah $\dfrac{562-552}{19-15} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52.$ Sekarang, katakanlah ada titik $43, 622$ dan $19, 562$. Gradien garis yang melalui titik ini adalah $\dfrac{622-562}{43-19} = \dfrac{60}{24} = \dfrac52.$ Karena gradiennya sama, maka pasangan bilangan pada username dan password bergerak secara linear. Dugaan sebelumnya memang benar. Setiap penambahan $2$ pada bilangan di username, bilangan di password bertambah $5$. Password untuk on75 dapat dicari sebagai berikut. Kita simbolkan sebagai $x$ dan kita menggunakan $43, 622$ sebagai titik bantu. $\begin{aligned} \dfrac25 & = \dfrac{x-622}{75-43} \\ \dfrac52 & = \dfrac{x-622}{32} \\ \dfrac{80}{\cancel{32}} & = \dfrac{x-622}{\cancel{32}} \\ 80 & = x-622 \\ x & = 702 \end{aligned}$ Jadi, password untuk username on75 adalah $\boxed{702}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 31 Misalkan $m$ menyatakan bilangan bulat positif serta garis $13x+11y = 700$ dan $y = mx-1$ berpotongan di titik yang koordinatnya bilangan bulat. Banyak kemungkinan nilai $m$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Substitusi $\color{red}{y} = mx-1$ pada persamaan $13x+11\color{red}{y} = 700$. $\begin{aligned} 13x+11mx-1 & = 700 \\ 13x+11mx-11 & = 700 \\ 13+11mx & = 711 \\ x & = \dfrac{711}{13+11m} \end{aligned}$ Karena $x$ bulat, maka $13+11m$ harus merupakan faktor dari $711$. Perhatikan bahwa $711$ memiliki faktor $\{1, 9, 79, 711\}.$ $\begin{array}{cc} \hline \text{Nilai}~13+11m & \text{Nilai}~m \\ \hline 1 & -\dfrac{12}{11} \\ 9 & -\dfrac{4}{11} \\ 79 & 6 \\ 711 & \dfrac{698}{11} \\ \hline \end{array}$ Dari tabel di atas, tampak bahwa hanya ada $1$ nilai $m$ yang mungkin, yaitu $m = 6$, berakibat $x = 9$ dan $y = 53$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 32 Garis $y = ax + b$ berpotongan secara tegak lurus dengan garis $y = bx + a$ di titik $1, ab$. Nilai $a + b = \cdots \cdot$ A. $-\sqrt5$ C. $\dfrac32$ B. $-1$ D. $2$ Pembahasan Tuliskan dulu gradien masing-masing garis. $$\begin{aligned} y = ax + b & \Rightarrow m_1 = a \\ y = bx+a & \Rightarrow m_2 = b \end{aligned}$$Karena kedua garis berpotongan tegak lurus, maka berlaku $$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ a & = -\dfrac{1}{b} \\ ab & = -1 \end{aligned}$$Karena berpotongannya di $1, ab$, maka substitusi $x = 1$ dan $y = ab$ pada salah satu persamaan garis, misalnya $y = ax + b$, menghasilkan $$\begin{aligned} ab & = a1 + b \\ ab & = a + b \\ -1 & = a + b \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik Bagian Uraian Soal Nomor 1 Periksa apakah titik berikut berada di atas, di bawah, atau terletak tepat pada garis yang diberikan. Titik $2, -1$ dan titik $3, 9$ terhadap garis $2x + y = 4$. Titik $3, -5$ dan titik $1, 6$ terhadap garis $y = 2x-4$. Titik $0, 0$ dan titik $2, 2$ terhadap garis $-9x+2y=18$. Pembahasan Sebelum mengerjakan, kita perlu memperhatikan definisi pengertian mengenai posisi titik terhadap garis berikut. Suatu titik dikatakan berada di posisi bawah suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih kecil dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada di posisi atas suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih besar dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada tepat pada suatu garis apabila nilai ordinat titik itu sama dengan dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Jawaban a Titik $2, -1$ memiliki nilai ordinat $y = -1$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2\color{red}{2} + y & = 4 \\ 4 + y & = 4 \\ y & = 0 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-1 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $3, 9$ di atas garis $2x + y = 4$. Jawaban b Titik $3, -5$ memiliki nilai ordinat $y = -5$. Substitusi $x = 3$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh $y = 2\color{red}{3}-4 = 6-4=2$. Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-5 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $1, 6$ di atas garis $y = 2x-4$. Jawaban c Titik $0, 0$ memiliki nilai ordinat $y = 0$. Substitusi $x = 0$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{0} + 2y & = 18 \\ 0 + 2y & = 18 \\ y & = 9 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $0 < 9$, maka disimpulkan bahwa titik $0, 0$ di bawah garis $-9x+2y=18$. Titik $2, 2$ memiliki nilai ordinat $y = 2$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{2} + 2y & = 18 \\ -18 + 2y & = 18 \\ 2y & = 36 \\ y & = 18 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $2 < 18$, maka disimpulkan bahwa titik $2,2$ di bawah garis $-9x+2y=18$. [collapse] Soal Nomor 2 Absis titik potong garis $g$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong garis $g$ dengan sumbu-$Y$ merupakan bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Jika garis $g$ melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $g$ tersebut. Pembahasan Misalkan titik potong garis $g$ terhadap kedua sumbu koordinat adalah $p, 0$ dan $0, q$ dengan $p, q$ bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Garis $g$ diketahui melalui titik $3, 4$. Berdasarkan prinsip kesamaan gradien dalam satu garis lurus, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{q-4}{0-3} & = \dfrac{0-4}{p-3} \\ \dfrac{q-4}{-3} & = \dfrac{-4}{p-3} \\ q-4p-3 & = 12 \end{aligned}$ Selanjutnya kita harus mencari kombinasi dua faktor yang mungkin untuk menghasilkan $12$. Faktor dari $12$ adalah $1, 2, 3, 4, 6$, dan $12$. Periksa setiap kemungkinan yang ada menggunakan tabel berikut dengan mengingat syarat $a, b$ harus genap dan nilainya kurang dari $10$. $$\begin{array}{ccccc} \hline q-4 & p-3 & q & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 12 & 5 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 2 & 6 & 6 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 3 & 4 & 7 & 7 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 4 & 3 & 8 & 6 & \text{Memenuhi} \\ 6 & 2 & 10 & 5 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 12 & 1 & 16 & 4 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $p = 6$ dan $q = 8$. Persamaan garis lurus yang melalui titik $6, 0$ dan $0, 8$ adalah $8x + 6y = 8 \cdot 6$, dan disederhanakan menjadi $4x + 3y = 24$. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut. Jadi, persamaan garis $g$ adalah $\boxed{4x+3y=24}$ [collapse] Soal Nomor 3 Absis titik potong garis $\ell$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong $\ell$ dengan sumbu-$Y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $\ell$ juga melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $\ell$. Pembahasan Perhatikan sketsa grafik garis $\ell$ berikut. Dimisalkan bahwa garis $\ell$ memotong sumbu-$X$ di $a, 0$ dan sumbu-$Y$ di $0, b$. Persamaan garis $\ell$ adalah $bx + ay = ab.$ Karena garis $\ell$ melalui titik $3, 4$, maka dapat disubstitusi $x = 3$ dan $y = 4$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} 3b+4a & = ab \\ ab-4a & = 3b \\ ab-4 & = 3b \\ a & = \dfrac{3b}{b-4} \\ a & = \dfrac{3b-4+12}{b-4} \\ a & = 3+\dfrac{12}{b-4} \end{aligned}$ Karena $a$ prima dan berarti juga bulat, maka $b-4$ harus merupakan faktor $12$, yaitu $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Analisis nilai $a$ dan $b$ yang keduanya harus prima dalam tabel berikut. $\begin{array}{ccc} \hline \text{Nilai}~b-4 & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~a \\ \hline 1 & 5 & \color{red}{15} \\ \hline 2 & \color{red}{6} & 5 \\ \hline 3 & 7 & 7 \\ \hline 4 & \color{red}{8} & \color{red}{6} \\ \hline 6 & \color{red}{10} & 5 \\ \hline 12 & \color{red}{16} & \color{red}{4} \\ \hline \end{array}$ Keterangan Bilangan yang diwarnai merah artinya bukan prima. Jadi, dipilih nilai $b = 7$, berakibat $a = 7$ keduanya prima sehingga persamaan garis $\ell$ adalah $7x + 7y = 49$, disederhanakan menjadi $\boxed{x + y = 7}$ [collapse] Soal Nomor 4 Sebuah garis melalui titik $A1, 1$ dan $B100, 1000$. Berapa banyak titik-titik lain dengan elemen koordinat berupa bilangan bulat yang dilalui garis itu dan berada di antara kedua titik tersebut? Pembahasan Garis melalui $A1,1$ dan $B100, 1000$. Gradien garis tersebut adalah $$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1000-1}{100-1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}$$Persamaan garisnya adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = \dfrac{111}{11}x-1 \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat $y$, maka $11$ harus membagi habis $x-1$. Untuk suatu bilangan bulat $t$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x-1 & = 11t \\ x & = 11t+1 \\ \Rightarrow y-1 & = \dfrac{111}{11}11t \\ y & = 111t+1 \end{aligned}$$Karena koordinat yang diiinginkan berada di antara titik $A1,1$ dan $B100,1000$, maka nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan berikut. $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & x & < & 100 \\ 1 & < & 11t+1 & < & 100 \\ 0 & < & 11t & < & 99 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$dan $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & y & < & \\ 1 & < & 111t+1 & < & \\ 0 & < & 111t & < & 999 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$Untuk kedua kasus tersebut, ditemukan $8$ nilai bilangan bulat $t$, yaitu $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Jadi, akan ada $\boxed{8}$ titik dengan koordinat bulat di antara $A$ dan $B$ yang dilalui garis itu. [collapse]
Grafikfungsi di bawah ini mempunyai persamaan. Gambar akhir yang kita tuju tampak seperti di samping ini. Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Definisi, bentuk grafik, contoh soal dan pembahasan.
Postingan ini membahas contoh soal persamaan garis lurus dan pembahasannya atau penyelesaiannya + jawaban. Penerapan persamaan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak, salah satunya adalah tangga. Tangga yang sering kalian temui di kehidupan sehari-hari biasanya berbentuk garis lurus dan selalu diletakkan dengan posisi miring terhadap lantai. Secara umum persamaan garis lurus mempunyai bentuk y = mx + c, dengan m menyatakan gradien. Sedangkan rumus persamaan garis lurus sebagai persamaan garis lurusPersamaan pertama adalah persamaan garis lurus dengan gradien dan melewati titik x1, y1. Sedangkan persamaan kedua adalah persamaan garis lurus yang melalui dua titik yaitu A x1, y1 dan titik B x2, y2.Contoh soal 1 UN 2016 SMPPersamaan garis yang melalui titik R-3, -2 dengan gradien 2 adalah…A. 2x + y – 4 = 0 B. 2x – y + 4 = 0C. 2x + y + 4 = 0 D. 2x – y – 4 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = – 3y1 = – 2m = 2Cara menjawab soal ini sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – -2 = 2 x – -3y + 2 = 2 x + 3y + 2 = 2x + 62x – y + 6 – 2 = 02x – y + 4 = 0Soal ini jawabannya soal 2 UN 2016Persamaan garis yang melalui titik P-1, 2 dengan gradien 1/2 adalah…A. x + 2y – 5 = 0 B. x – 2y – 5 = 0 C. x – 2y + 5 = 0 D. x + 2y + 5 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = – 1y1 = 2m = 1/2Cara menentukan persamaan garis lurus sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 2 = 1/2 x – -1y – 2 = 1/2 x + 1y – 2 = 1/2x + 1/21/2x – y + 1/2 + 21/2x – y + 5/2 = 0 dikali 2x – 2y + 5 = 0Soal ini jawabannya soal 3 UN 2017 SMPPersamaan garis melalui titik -2, 3 dan bergradien -3 adalah …A. x + 3y + 3 = 0 B. x – 3y + 3 = 0 C. 3x + y + 3 = 0 D. 3x – y + 3 = 0Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = -2y1 = 3m = -3Cara menjawab soal ini sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 3 = -3 x – -2y – 3 = -3 x + 2y – 3 = -3x – 63x + y – 3 + 6 = 03x + y + 3 = 0Soal ini jawabannya soal 4Persamaan garis yang melalui titik 2, 5 dan 3, 9 adalah…A. y = 4x – 3 B. y = 4x – 5 C. y = 4x – 8 D. y = 4x – 13Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = 5x2 = 3y2 = 9Cara menjawab soal ini sebagai berikut→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 59 – 5 = x – 23 – 2 → y – 54 = x – 21 → y – 5 = 4 x – 2 → y – 5 = 4x – 8 → y = 4x – 8 + 5 = 4x – 3Soal ini jawabannya soal 5Persamaan garis lurus yang melalui titik 0, 3 dan 4, 0 adalah…A. y = -4/3 x + 3 B. y = – 3/4 x + 3 C. y = 3/4 x + 3 D. y = 4/3 x + 3Pembahasan / penyelesaian soalDiketahui x1 = 0y1 = 3x2 = 4y2 = 0Cara menjawab soal ini sebagai berikut.→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 33 – 0 = x – 00 – 4 → y – 33 = x-4 → -4 y – 3 = 3x → -4y + 12 = 3x → 4y = -3x + 12 → y = – 3/4 x + 3Soal ini jawabannya soal 6Persamaan garis gambar dibawah ini adalah…Contoh soal persamaan garis lurus nomor 6A. y = x – 3B. y = 3 – x C. y = x + 3 D. y = 3xPembahasan / penyelesaian soalGaris lurus pada gambar diatas melalui dua titik yaitu 3, 0 dan 0, 3. Jadi pada soal ini diketahuix1 = 3y1 = 0x2 = 0y2 = 3Cara menentukan persamaan garis gambar diatas sebagai berikut→ y – y1y2 – y1 = x – x1x2 – x1 → y – 03 – 0 = x – 30 – 3 → y3 = x – 3-3 → -3y = 3 x – 3 → -3y = 3x – 9 dibagi 3 → -y = x – 3 → y = -x + 3 atau 3 – xSoal ini jawabannya soal 7Persamaan garis lurus yang melalui titik 2, -6 dan sejajar garis y = 3x + 4 adalah…A. y = 3x – 6 B. y = 3x – 12 C. y = 3x + 6 D. y = 6x + 3Pembahasan / penyelesaian soalPada soal ini diketahuix1 = 2y1 = -6m = 3 diperoleh dari y = mx + c atau y = 3x + 4Jadi persamaan garis yang melalui titik 2, -6 sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – -6 = 3 x – 2y + 6 = 3x – 6y = 3x – 6 – 6 = 3x – 12Soal ini jawabannya soal 8Persamaan garis yang melalui 2, 8 dan sejajar garis 2y = 4x – 2 adalah…A. y = 1/2 x + 4 B. y = – 1/2 x – 1 C. y + 2x = 4D. y – 2x = 4Pembahasan / penyelesaian soal2y = 4x – 2 diubah menjadi y = 2x – 1. Jadi m = 2. Maka persamaan garis yang sejajar 2y = 4x – 2 sebagai berikuty – y1 = m x – x1y – 8 = 2 x – 2y – 8 = 2x – 4y – 2x = -4 + 8y – 2x = 4Soal ini jawabannya soal 9 UN 2016 SMPPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah…Contoh soal persamaan garis lurus nomor 9A. 2y = x – 1B. 2y = – x – 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = -x + 1Pembahasan / penyelesaian soalPada gambar diatas titik yang dilalui garis a adalah -1, 0 dan 0, 2 sehingga kita dapat gradien garis a sebagai berikut→ ma = y – yx – x → mb = 2 – 00 – -1 = 2Karena garis a dan b saling tegak lurus maka berlaku hubungan ma . mb = -1. Maka kita peroleh→ mb = -1ma → mb = – 12 Jadi persamaan garis b melalui titik -1, 0 sebagai berikuty – yb = mb x – xby – 0 = -1/2 x – -1y = -1/2x – 1/2 dikali 22y = -x – 1Soal ini jawabannya soal 10Persamaan garis lurus yang melalui titik 6, -3 dan tegak lurus garis 2x + 3y – 5 = 0 adalah…A. 3/2 x – 3 B. y = 3/2 x – 6 C. 3/2 x – 9 D. 3/2 x – 12Pembahasan / penyelesaian soalPersamaan garis diatas dapat diubah bentuknya menjadi seperti dibawah ini2x + 3y – 5 = 03y = -2x + 5y = -2/3x + 5/3Jadi kita ketahui m1 = -2/3. Karena tegak lurus maka berlaku m1 . m2 = -1 sehingga kita peroleh→ m2 = -1m1 → m2 = -1-2/3 = 3/2Jadi persamaan garis yang melalui titik 6, -3 sebagai berikuty – y2 = m x – x2y – -3 = 3/2 x – 6y + 3 = 3/2x – 9y = 3/2x – 9 – 3y = 3/2x – 12Soal ini jawabannya E.
QueZ8S. 4ju6mkx7g1.pages.dev/3394ju6mkx7g1.pages.dev/3144ju6mkx7g1.pages.dev/1374ju6mkx7g1.pages.dev/2054ju6mkx7g1.pages.dev/1444ju6mkx7g1.pages.dev/294ju6mkx7g1.pages.dev/2414ju6mkx7g1.pages.dev/574ju6mkx7g1.pages.dev/56
persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah
